Dissertations / Theses on the topic 'Systèmes couplés non-linéaires'

La thèse est consacrée à l'étude de systèmes d'équations aux dérivées partielles issus d'un modèle de thermoviscoélasticité. Le premier chapitre concerne une version stationnaire de ce modèle. En utilisant le cadre des solutions renormalisées des problèmes elliptiques à données L 1, nous démontrons deux théorèmes d'existence de solutions ainsi que des résultats partiels concernant l'unicité. Dans le deuxième chapitre et dans le but d'affaiblir les hypothèses sur les données, nous transformons de façon formelle le système considéré dans le chapitre 1. Dans le cas particulier de ce nouveau système, nous adaptons les notions de solutions renormalisées et entropiques afin de démontrer un résultat d'existence de solutions. Dans le troisième chapitre, deux résultats d'existence de solutions sont établis pour le système initial d'évolution. On utilise le cadre des solutions renormalisées pour les problèmes paraboliques à données L 1.

Nous proposons dans cette thèse l'étude de deux systèmes optiques non linéaires. Le premier problème que nous analysons est celui de l'effet laser médié par recul atomique (CARL), dans une vapeur d'atomes à deux niveaux. Nous tenons ici explicitement compte des divers processus irréversibles présents dans une quelconque expérience, venant ainsi contrecarrer la formation de l'instabilité. Nous mettons en évidence l'existence de deux types de transitions de phases dans ce système et montrons que celles-ci sont indépendantes des détails des processus de thermalisations. L'étude est menée à la fois numériquement et analytiquement. Alors que nous spécifions les conditions requises à l'observation de la première transition de phase, nous confrontons nos résultats concernant la seconde instabilité à des résultats expérimentaux récents. Dans une seconde partie, nous nous intéressons à la dynamique de deux lasers soumis à un couplage retardé. Nous verrons comment un système, à priori simple de deux lasers, couplés via un terme retardé, peut induire une dynamique particulièrement riche. Nous présentons un mécanisme de formation des ponts de connections entre les solutions périodiques de symétries différentes via des bifurcations secondaires et des solutions quasi-périodiques asymétriques. L'étude est menée à la fois analytiquement et numériquement, grâce à l'utilisation d'algorithmes de continuations
We present in this thesis the study of two non-linear optical systems. The first problem that we analyze is the collective atomic recoil laser (CARL) in a vapor of two-level atoms. We emphasize the various irreversible processes, present in any experiment, that are likely to counteract the development of the instability. We point out the existence of two different types of phase transition and show that they are independent of the details of the thermalization processes. The study is both numerical and analytic. We specify the necessary conditions in order to observe the first kind of transition while we compare our results for the second instability with recent experimental results. The second problem concerns the dynamics of two lasers coupled via delayed injection. We show how this system, a priori simple, induces very rich dynamics when the delay term is included. We present a mechanism of bridge formation between periodic solutions with different symmetries via secondary bifurcation and asymmetric quasi-periodic solutions. This study is performed using analytical methods and a continuation based algorithm
In questa tesi, presentiamo lo studio di due sistemi ottici non lineari. Il primo problema analizzato 'e l'effetto laser ottenuto mediante rinculo atomico (CARL), in un vapore di atomi a due livelli. In questo studio, consideriamo in modo esplicito I diversi processi irreversibili, presenti negli esperimenti, che possono impedire la formazione delle instabilità. In questo sistema dinamico, mettiamo in evidenza l'esistenza di due tipi di transizione di fase e mostriamo che quest'ultime sono indipendenti dai dettagli del processo di termalizzazione. Questo studio e realizzato numericamente e analiticamente. Per la prima transizione, presentiamo le condizioni necessarie alla sua osservazione, mentre per la seconda transizione, confrontiamo i nostri risultati con delle recenti osservazioni sperimentali. Nella seconda parte di questa tesi, ci interessiamo alla dinamica di due laser accoppiati tramite un termine di ritardo. Mostreremo come un sistema, a priori semplice, composto da due laser, può avere una dinamica estremamente ricca grazie al termine di ritardo. Presentiamo un meccanismo di formazione di ponti di connessione tra le soluzioni periodiche con simmetrie diverse tramite delle biforcazioni secondarie e delle soluzioni quasi-periodiche asimmetriche. Questo studio e realizzato analiticamente e numericamente, grazie all'utilizzazione di algoritmi di continuazione

Les travaux de cette thèse portent sur la modélisation et l’étude numérique dessystèmes couplés de deux équations de Schrödinger non linéaires. Dans un premiertemps, nous considérons un système de deux équations de Schrödinger non linéairesPT −symétrique qui modélise des phénomèmes de fibre optique biréfringent. Lecomportement de la solution est étudié dans certains espaces comme l’espace de SobolevH1. De plus, l’étude numérique du modèle est faite afin de valider les résultatsanalytiques et, montre clairement le comportement qualitatif de la solution dansles espaces choisis. Pour ce même modèle en dimension supérieure, des conditionssuffisantes sont établies pour que la solution explose en temps fini pour certainesnon linéarités et pour le cas général de la non linéarité focalisante, nous faisonsl’étude numérique du modéle et nous présentons certains cas d’explosion de la solutionen temps fini et aussi des solutions du modèle qui existent tout le temps.D’autre part, nous adressons un nouveau modèle d’équations discrètes de Schrödingernon linéaires PT -symétrique. Un tel modèle décrit la dynamique d’une chaînede pendules faiblement couplés près d’une résonance entre une force paramétriqueet la fréquence linéaire des pendules. En vue d’étudier la stabilité des pendules, desconditions suffisantes ont été établies sur les paramètres du modèle pour que la solutiond’équilibre zéro soit linéairement et non linéairement stable. Des expériencesnumériques sont présentées pour valider les résultats analytiques et pour caractériserla déstabilisation de la chaîne de pendules couplés dans la région d’instabilité
The works of this thesis concern the modeling and the numerical study of thesystems of two coupled nonlinear Schrödinger equations. At first, we considered aparity-time-symmetric system of the two coupled nonlinear Schrödinger (NLS) equationsthat modeled phenomenons in birefringent nonlinear optical fiber. We studythe behavior of the solution in some spaces like the Sobolev space H1. And we studythe numerical aspect of the model which clearly shows the behavior of the solutionin the chosen space. For the same model in higher dimension, we establish sufficientconditions for the initial conditions to blow up in finite time for some nonlinearityand for others we do the numerical study of the model and we present some casesof blowing up of the solution in finite time and also of the solutions of the modelthat exist all the time. On the other hand, we address a new model of discrete nonlinearSchrödinger equations PT -symmetric. A such model describes dynamics inthe chain of weakly coupled pendula pairs near the resonance between the parametricallydriven force and the linear frequency of each pendulum. In order to studythe stability of the pendulums, we establish sufficient conditions on the parametersof the model so that the equilibrium solution is stable. Numerical experiments arepresented to validate the analytical results and to characterize the unstabilizationof the coupled pendulum chain in the region of instability

Le travail présenté dans ce mémoire est une contribution au domaine de l'analyse et de l'identification du comportement dynamique des structures non linéaires. Le premier objectif est la mise au point et la comparaison de quatre techniques de calcul des Modes Normaux Non linéaires (MNNs) : l'approche de Shaw et Pierre, l'approche de Bellizzi et Bouc, l'équilibrage harmonique et la méthode de tir. La combinaison des trois dernières méthodes avec la méthode de continuation permet de détecter les points de bifurcation et de trouver les nouvelles branches de solutions. Le deuxième objectif est l'identification des paramètres caractérisant le comportement dynamique des systèmes linéaires et non linéaires à partir des réponses libres ou des réponses au bruit ambiant. Les outils présentés sur le traitement du signal réel modulé en amplitude et en fréquence par la transformation en ondelettes continue permettent d'atteindre cet objectif. Le dernier objectif est l'extension de la méthode de sous-structuration linéaire de Craig-Bampton au cas non linéaire. Lorsque l'hypothèse de couplage faible entre les sous-structures est faite, le modèle réduit de la structure globale est obtenu par assemblage de modèles réduits de sous-structures avec interfaces de couplage fixe. Ces modèles réduits sont calculés en utilisant l'approche des MNNs de Shaw et Pierre. La robustesse et l'efficacité des méthodes présentées sont étudiées au travers d'exemples numériques ainsi que de tests réels.

L'objectif principal de cette thèse concerne l'étude du comportement asymptotique des solutions globales de quelques équations, et systèmes couplés des équations, d'évolutions non linéaires avec différents types d'amortissements et des conditions sur le bord. Sous la condition basique que la non linéarité est analytique, on prouve que les énergies associées vérifient des inégalités de type Lojasiewicz et on obtient des résultats de convergence avec l'estimation de la vitesse de convergence. Pour tous les modèles étudiés dans cette thèse, on s'intéresse aux questions d'existence et d'unicité des solutions bornées à images relativement compactes dans leur espace d'énergie naturelles. Cette thèse est constituée de trois parties principales. Dans la première partie on prouve un résultat de convergence général avec l'estimation du taux de décroissance des solutions bornées d'une équation d'évolution abstraite non autonome avec dissipation linéaire. Le résultat permet de retrouver et généraliser de manière naturelle des résultats connus mais aussi il s'applique à une classe très générale des équations et des systèmes couplés avec divers types de couplages et avec diverses conditions sur le bord. La deuxième partie est consacrée à l'étude des équations du second ordre avec dissipation non linéaire et des conditions dynamiques classiques sur le bord. On prouve l'existence et l'unicité des solutions globales bornées à images relativement compactes et on montre la convergence vers un équilibre. Finalement, on s'intéresse à des équations d'évolution dégénérées de type hyperbolique-parabolique avec des conditions dynamiques de type mémoire sur le bord. On prouve l'existence et l'unicité des solutions globales bornées à images relativement compactes et on prouve la convergence avec l'estimation de la vitesse de convergence. Le premier chapitre de cette thèse consiste en une introduction préliminaire développant non seulement l'histoire des recherches reliées à nos modèles et leurs résultats décrits dans la littérature, mais aussi en présentant les énoncés de nos résultats obtenus avec les idées des démonstrations. On y discute la complexité de la problématique et l'on y présente la justification de l'étude
The main goal of this thesis is the study of the asymptotic behavior of global solutions to some nonlinear evolutions equations and coupled systems with different types of dissipation and boundary conditions. Under the assumption that the non-linear term is real analytic, we construct an appropriate Lyapunov energy and we use the Lojasiewicz-Simon inequality to show the convergence, and the convergence, and the convergence rate, of global weak solutions to single steady states. For all models studied in this thesis, we are in addition interested in the questions of the existence and uniqueness of global bounded solutions having relatively compact range in the natural energy space. This thesis consists of three main parts. In the first part, we present a unified approach to study the asymptotic behavior and the decay rate to a steady state of bounded weak solutions for an abstract non-autonomous nonlinear equation with linear dissipation. This result allows us to find and to generalize, in a natural way, known results but it applies to a quite general class of equations and coupled systems with different kinds of coupling and various boundary conditions. The second part is devoted to the study of a nonautonomous semilinear second order equation with nonlinear dissipation and a dynamical boundary condition. We prove the existence and uniqueness of global, bounded, weak solutions having relatively compact range in the natural energy space and we show that every weak solution converges to equilibrium. Finally, we consider a nonautonomous, semilinear, hyperbolic-parabolic equation subject to a dynamical boundary condition of memory type. We prove the existence and uniqueness of global bounded solutions having relatively compact range and we show the convergence of global weak solutions to single steady states. We prove also an estimate for the convergence rate. The first chapter of this thesis consist of a preliminary introduction developing not only the story of researches linked to our models and the results described in the literature, but presenting also our main results as well the ideas of their proofs. There we discuss the complexity of our problems and we present a justification for our studies

Dans cette thèse, nous étudions le modèle de synchronisation de Kuramoto et plus généralement des systèmes de diffusions interagissant en champ moyen, en présence d'un aléa supplémentaire appelé désordre. La motivation principale en est l'étude du comportement du système en grande population, pour une réalisation fixée du désordre (modèle quenched). Ce document, outre l'introduction, comporte quatre chapitres. Le premier s'intéresse à la convergence de la mesure empirique du système d'oscillateurs vers une mesure déterministe, solution d'un système d'équations aux dérivées partielles non linéaires couplées (équation de McKean-Vlasov). Cette convergence est prouvée indirectement via un principe de grandes déviations dans le cas averaged et directement dans le cas quenched, sous des hypothèses plus faibles sur le désordre. Le deuxième chapitre est issu d'un travail en commun avec Giambattista Giacomin et Christophe Poquet et concerne la régularité des solutions de l'EDP limite ainsi que la stabilité de ses solutions stationnaires synchronisées dans le cas d'un désordre faible. Les deux derniers chapitres étudient l'influence du désordre sur une population d'oscillateurs de taille finie et illustrent des problématiques observées dans la littérature physique. Nous prouvons dans le troisième chapitre un théorème central limite quenched associé à la loi des grands nombres précédente: on montre que le processus de fluctuations quenched converge, en un sens faible, vers la solution d'une EDPS linéaire. Le dernier chapitre étudie le comportement en temps long de cette EDPS, illustrant le fait que les fluctuations dans le modèle de Kuramoto ne sont pas auto-moyennantes.

Dans cette Thèse, la conception robuste avec un modèle incertain d'un système électromécanique avec vibro-impact est fait. Le système électromécanique est constitué d'un chariot, dont le mouvement est excité par un moteur à courant continu et un marteau embarqué dans ce chariot. Le marteau est relié au chariot par un ressort non linéaire et par un amortisseur linéaire, de façon qu'un mouvement relatif existe entre eux. Une barrière flexible linéaire, placé à l'extérieur du chariot limite les mouvements de marteau. En raison du mouvement relatif entre le marteau et la barrière, impacts peuvent se produire entre ces deux éléments. Le modèle du système développé prend en compte l'influence du courant continu moteur dans le comportement dynamique du système. Certains paramètres du système sont incertains, tels comme les coefficients de rigidité et d'amortissement de la barrière flexible. L'objectif de la Thèse est de réaliser une optimisation de ce système électromécanique par rapport aux paramètres de conception afin de maximiser l'impact puissance sous la contrainte que la puissance électrique consommée par le moteur à courant continu est inférieure à une valeur maximale. Pour choisir les paramètres de conception dans le problème d'optimisation, une analyse de sensibilité a été réalisée afin de définir les paramètres du système les plus sensibles. L'optimisation est formulée dans le cadre de la conception robuste en raison de la présence d'incertitudes dans le modèle. Les lois de probabilités liées aux variables aléatoires du problème sont construites en utilisant le Principe du Maximum l'Entropie et les statistiques de la réponse stochastique du système sont calculées en utilisant la méthode de Monte Carlo. L'ensemble d'équations non linéaires sont présentés, et un solveur temporel adapté est développé. Le problème d'optimisation non linéaire stochastique est résolu pour différents niveaux d'incertitudes, et aussi pour le cas déterministe. Les résultats sont différents, ce qui montre l'importance de la modélisation stochastique
In this Thesis, the robust design with an uncertain model of a vibro-impact electromechanical system is done. The electromechanical system is composed of a cart, whose motion is excited by a DC motor (motor with continuous current), and an embarked hammer into this cart. The hammer is connected to the cart by a nonlinear spring component and by a linear damper, so that a relative motion exists between them. A linear flexible barrier, placed outside of the cart, constrains the hammer movements. Due to the relative movement between the hammer and the barrier, impacts can occur between these two elements. The developed model of the system takes into account the influence of the DC motor in the dynamic behavior of the system. Some system parameters are uncertain, such as the stiffness and the damping coefficients of the flexible barrier. The objective of the Thesis is to perform an optimization of this electromechanical system with respect to design parameters in order to maximize the impact power under the constraint that the electric power consumed by the DC motor is lower than a maximum value. To chose the design parameters in the optimization problem, an sensitivity analysis was performed in order to define the most sensitive system parameters. The optimization is formulated in the framework of robust design due to the presence of uncertainties in the model. The probability distributions of random variables are constructed using the Maximum Entropy Principle and statistics of the stochastic response of the system are computed using the Monte Carlo method. The set of nonlinear equations are presented, and an adapted time domain solver is developed. The stochastic nonlinear constrained design optimization problem is solved for different levels of uncertainties, and also for the deterministic case. The results are different and this show the importance of the stochastic modeling

Ce travail est consacré à l'étude de quelques problèmes de contrôlabilité concernant plusieurs modèles issues de la mécanique des fluides. Dans le Chapitre 2, on obtient la contrôlabilité locale à zéro du système de Navier-Stokes avec contrôles distribués ayant une composante nulle. La nouveauté la plus importante est l'absence de conditions géometriques sur le domaine de contrôle. Le Chapitre 3 étend ce résultat pour le système de Boussinesq, où le couplage avec l'équation de la chaleur permet d'avoir jusqu'à deux composantes nulles dans le contrôle agissant sur l'équation du fluide. Le Chapitre 4 traite l'existence de contrôles insensibilisants pour le système de Boussinesq. En particulier, on montre la contrôlabilité à zéro d'un système en cascade issu du problème d'insensibilisation où le contrôle dans l'équation du fluide possède deux composantes nulles. Pour ces problèmes, on suit une approche classique. On établit la contrôlabilité à zéro du système linéalisé autour de zéro par une inégalité de Carleman pour le système adjoint avec des termes source. Puis, on obtient le résultat pour le système non linéaire par un argument d'inversion locale.Dans le Chapitre 5, on étudie quelques aspects de la contrôlabilité à zéro d'une équation de KdV linéaire avec conditions au bord de type Colin-Ghidaglia. On obtient une estimation du coût de la contrôlabilité à zéro qui est optimal par rapport au coefficient de dispersion. Sa preuve repose sur une inégalité de Carleman avec un comportement optimal en temps. Puis, on montre que le coût de la contrôlabilité à zéro explose exponentiellement par rapport au coefficient de dispersion lorsque le temps final est suffisamment petit
This work is devoted to the study of some controllability problems concerning some models from fluid mechanics. First, in Chapter 2, we obtain the local null controllability of the Navier-Stokes system with distributed controls having one vanishing component. The main novelty is that no geometric condition is imposed on the control domain. In Chapter 3, we extend this result for the Boussinesq system, where the coupling with the temperature equation allows us to have up to two vanishing components in the control acting on the fluid equation. Chapter 4 deals with the existence of insensitizing controls for the Boussinesq system. In particular, we prove the null controllability of the cascade system arising from the reformulation of the insensitizing problem, where the control on the fluid equation has two vanishing components. For these problems, we follow a classical approach. We establish the null controllability of the linearized system around the origin by means of a suitable Carleman inequality for the adjoint system with source terms. Then, we obtain the result for the nonlinear system by a local inversion argument.In Chapter 5, we study some null controllability aspects of a linear KdV equation with Colin-Ghidaglia boundary conditions. First, we obtain an estimation of the cost of null controllability, which is optimal with respect to the dispersion coefficient. This improves previous results on this matter. Its proof relies on a Carleman estimate with an optimal behavior in time. Finally, we prove that the cost of null controllability blows up exponentially with respect to the dispersion coefficient provided that the final time is small enough

L'écriture résulte de la coordination des doigts et du poignet assimilables à deux oscillateurs orthogonaux. Nous postulons que l'écriture résulte d'une dynamique d'oscillateurs couplés non linéaires. Le but est de trouver les règles de production et de dégradation de l'écriture. Des droitiers ont produit 26 formes graphiques correspondant à des valeurs de phase relative et d'amplitude entre les deux oscillateurs. Les sujets adoptaient spontanément 4 patrons stables pour chaque tâche. Ces patrons sont plus précis, plus stables et attirent les patrons adjacents. De plus, les règles de dégradation et de coarticulation dépendent de la stabilité de ces attracteurs. Sous diverses contraintes, les patrons les moins stables se déstabilisaient en direction des attracteurs et les transitions dépendaient de la stabilité des formes à produire. La production de formes graphiques, leur coarticulation et leur dégradation sont donc tributaires d'une dynamique d'oscillateurs couplés non linéaires
Handwriting results from the coordination of two orthogonal coupled oscillators. Our main concern was to draw dynamical phenomena that govern the production and the degradation of handwriting. Subjects produced 26 shapes corresponding to values of relative phase and amplitude between both oscillators. Only 4 shapes were spontaneously stable for each task. Those patterns were characterized by attraction of nearby shapes and a higher stability. Moreover, robust rules of degradation and transition of graphic patterns came from their differential stability. Under a high velocity or with the unpractised hand, the least stable pattern degraded steeper whereas the most stable patterns kept a stable performance. The time to switch from a most stable to a least stable pattern took more time than on the other way. Handwriting exhibit preferred patterns, nonlinear transition and predictable deterioration. The dynamics of handwriting comes from the dynamics of non linear coupled oscillator

Ce travail est consacré à l’étude de la dynamique d’un système proie-prédateur de type Leslie-Gower défini par un système d’équations différentielles ordinaires (EDO) ou d’équations différentielles stochastiques (EDS), ou par des systèmes couplés d’EDO ou d’EDS. L’objectif principal est de faire l’analyse mathématique et la simulation numérique des modèles construits. Cette thèse est divisée en deux parties : La première partie est consacrée à un système proie-prédateur où les proies utilisent un refuge, le modèle est donné par un système d’équations différentielles ordinaires ou d’équations différentielles stochastiques. Le but de cette partie est d’étudier l’impact du refuge ainsi que la perturbation stochastique sur le comportement des solutions du système. Dans la deuxième partie, nous considérons un système proie-prédateur couplé en réseau. Il s’agit d’étudier comment des couplages plus ou moins forts entre plusieurs systèmes affectent l’existence et la position des points d’équilibre, et la stabilité de ces systèmes
This work is devoted to the study of the dynamics of a predator-prey system of Leslie-Gower type defined by a system of ordinary differential equations (EDO) or stochastic differential equations (EDS), or by coupled systems of EDO or EDS. The main objective is to do mathematical analysis and numerical simulation of the models built. This thesis is divided into two parts : The first part is dedicated to a predator-prey system where the prey uses a refuge, the model is given by a system of ordinary differential equations or stochastic differential equations. The purpose of this part is to study the impact of the refuge as well as the stochastic perturbation on the behavior of the solutions of the system. In the second part, we consider a networked predator-prey system. We show that symmetric couplings speed up the convergence to a stationary distribution

Le contexte du sujet est la gestion des systèmes aquifères, en particulier le contrôle de leur exploitation et de leur éventuelle pollution. Comme exemple d'application, nous nous focalisons sur le problème d'eau salée dans les aquifères côtiers. Plus généralement, le travail s'applique à tout écoulement miscible et stratifié dans un milieu poreux faiblement déformable. Le but est d'obtenir un modèle robuste pour modéliser le déplacement des fronts de l'eau salée et de la surface supérieure de l'aquifère. Nous avons proposé une approche mixte entre interface diffuse et interface abrupte ce qui a l'avantage de respecter la réalité physique du problème tout en conservant l'efficacité numérique. De plus, nous réussissons à modéliser ce problème 3D par un modèle dynamique 2D où la 3ème dimension est traitée via l'évolution des fronts d'eau salée et de la surface libre supérieure de l'aquifère en prenant en compte l'épaisseur des zones de transition (transition entre eau salée et eau claire, transition entre zone saturée et zone insaturée). Le modèle est basé sur les lois de conservation dans le domaine de l'eau salée et dans celui de l'eau douce, les deux domaines (à frontière libre) étant couplés par un modèle intermédiaire de changement de phase. De plus, nous avons effectué des simulations numériques pour comparer notre modèle 2D issu de l'approche mixte avec un modèle 3D d'écoulement de deux fluides miscibles en milieu compressible saturé. Puis, des simulations sont faites sur notre modèle 2D pour illustrer son efficacité (cette fois dans le cas insaturé)
The context of the subject is the management of aquifers, in especially the control of their operations and their possible pollution. A critical case is the saltwater intrusion problem in costal aquifers. The goal is to obtain efficient and accurate models to simulate the displacement of fresh and salt water fronts in coastal aquifer for the optimal exploitation of groundwater. More generally, the work applies for miscible and stratified displacements in slightly deformable porous media. In this work we propose an original model mixing abrupt interfaces/diffuse interfaces approaches. The advantage is to adopt the (numerical) simplicity of a sharp interface approach, and to take into account the existence of diffuse interfaces. The model is based on the conservation laws written in the saltwater zone and in the freshwater zone, these two free boundary problems being coupled through an intermediate phase field model. An upscaling procedure let us reduce the problem to a two-dimensional setting. The theoretical analysis of the new model is performed. We also present numerical simulations comparing our 2D model with the classical 3D model for miscible displacement in a confined aquifer. Physical predictions from our new model are also given for an unconfined setting

Dans cette thèse, on s'intéresse à la contrôlabilité et son coût pour un certain nombre d'équations aux dérivées partielles linéaires ou non linéaires issues de la physique. La première partie de la thèse concerne la contrôlabilité à zéro de l'équation de Navier-Stokes tridimensionnelle avec conditions au bord de Dirichlet et contrôle interne distribué sur un sous-ouvert de domaine de définition n'agissant que sur une seule des trois équations. La preuve repose sur la méthode du retour ainsi que sur une méthode originale de résolution algébrique de systèmes différentiels inspirée de travaux de Gromov. La deuxième partie de la thèse concerne le coût du contrôle en temps petit ou en viscosité évanescente d'équations linéaires unidimensionnelles. Dans un premier temps, on montre que l'on peut, dans certains cas, faire un lien entre ces deux problèmes. Notamment il est possible d'obtenir des résultats de contrôlabilité uniforme de l'équation de transport-diffusion unidimensionnelle à coefficients constants contrôlée sur le bord gauche à l'aide de résultats déjà connus sur le contrôle de l'équation de la chaleur. Dans un second temps, on s'intéresse au coût du contrôle frontière en temps petit d'un certain nombre d'équations pour lesquelles l'opérateur spatial associé est autoadjoint ou anti-autoadjoint à résolvante compacte et ayant des valeurs propres se comportant de manière polynomiale, en utilisant la méthode des moments. On en déduit des résultats pour des équations de type Korteweg-de-Vries linéarisées, diffusion fractionnaire et Schrödinger fractionnaire.

Ce travail de recherche est une contribution au développement de la méthode Décomposition Propre Généralisée (PGD) à la résolution de problèmes de diffusion-réaction raides dédiés à la mécanique des matériaux. Ce type d’équations est notamment rencontré lors de l’oxydation des matériaux polymères et il est donc nécessaire de mettre en place un outil pour simuler ce phénomène afin de prédire numériquement le vieillissement de certains matériaux composites à matrice organique utilisés dans l’aéronautique. La méthode PGD a été choisie dans cette thèse car elle permet un gain en temps de calcul notable par rapport à la méthode des éléments finis. Néanmoins cette famille d’équations n’a jamais été traitée avec cette méthode. Cette dernière se résume à la recherche de solutions d’Équations aux Dérivées Partielles sous forme séparée. Dans le cas d’un problème 1D transitoire, cela revient à chercher la solution sous la forme d’une représentation séparée espace-temps. Dans le cadre de cette thèse, un outil numérique a été mis en place permettant une flexibilité telle que différents algorithmes peuvent être testés. La diffusion Fickienne 1D est tout d’abord évaluée avec en particulier une discussion sur l’utilisation d’un schéma de type Euler ou Runge-Kutta à pas adaptatif pour la détermination des fonctions temporelles. Le schéma de Runge-Kutta permet de réduire notablement le temps de calcul des simulations.Ensuite, la mise en place de l’outil pour les systèmes d’équation de type diffusion-réaction nécessite des algorithmes de résolution de systèmes non linéaires, couplés et raides. Pour cela, différents algorithmes ont été implémentés et discutés.Dans le cas d’un système non linéaire, l’utilisation de la méthode de Newton-Raphson dans les itérations pour la recherche du nouveau mode permet de réduire le temps de calcul en limitant le nombre de modes à considérer pour une erreur donnée. En ce qui concerne les couplages, deux stratégies de résolution ont été évaluées. Le couplage fort mène aux mêmes conclusions que dans le cas non linéaire. Les systèmes raides mais linéaires ont ensuite été traités en implémentant l’algorithme de Rosenbrock pour la détermination des fonctions temporelles. Cet algorithme permet contrairement à Euler et à Runge-Kutta de construire une solution avec un temps de calcul raisonnable liée à l’adaptation du maillage temporel sous-jacent à l’utilisation de cette méthode. La résolution d’un système d’équations de diffusion-réaction raides non linéaires utilisée pour la prédiction de l’oxydation d’un composite issu de la littérature a été testée en utilisant les différents algorithmes mis en place. Néanmoins, les non linéarités et la raideur du système génèrent des équations différentielles intermédiaires à coefficients variables pour lesquelles la méthode de Rosenbrock montre ses limites. Il sera donc nécessaire de tester ou développer d’autres algorithmes pour lever ce verrou.Mots
This work presents the development of the Proper Generalized Decomposition (PGD) method for solving stiff reaction-diffusion equations in the framework of mechanics of materials. These equations are particularly encountered in the oxidation of polymers and it is therefore necessary to develop a tool to simulate this phenomenon for example for the ageing of organic matrix composites in aircraft application. The PGD method has been chosen in this work since it allows a large time saving compared to the finite element method. However this family of equations has never been dealt with this method. The PGD method consists in approximating a solution of a Partial Differential Equation with a separated representation. The solution is sought under a space-time separated representation for a 1D transient equation.In this work, a numerical tool has been developed allowing a flexibility to test different algorithms. The 1D Fickian diffusion is first evaluated and two numerical schemes, Euler and Runge-Kutta adaptive methods, are discussed for the determination of the time modes. The Runge-Kutta method allows a large time saving. The implementation of the numerical tool for reaction-diffusion equations requires the use of specific algorithms dedicated to nonlinearity, couplingand stiffness. For this reason, different algorithms have been implemented and discussed. For nonlinear systems, the use of the Newton-Raphson algorithm at the level of the iterations to compute the new mode allows time saving by decreasing the number of modes required for a given precision. Concerning the couplings, two strategies have been evaluated. The strong coupling leads to the same conclusions as the nonlinear case. The linear stiff systems are then studied by considering a dedicated method, the Rosenbrock method, for the determination of the time modes. This algorithm allows time saving compared to the Runge-Kutta method. The solution of a realistic nonlinear stiff reaction-diffusionsystem used for the prediction of the oxidation of a composite obtained from the literature has been tested by using the various implemented algorithms. However, the nonlinearities and the stiffness of the system generate differential equations with variable coefficients for which the Rosenbrock method is limited. It will be necessary to test or develop other algorithms to overcome this barrier

Dans la première partie, conception et réalisation de systèmes simples, permettant de translater d'un microintervalle donne la tessiture des instruments à trous latéraux. Dans la deuxieme partie, on s'intéresse à l'oscillation d'une anche simple couplée a un résonateur tronconique, en vue d'améliorer la modélisation de ce phénomène.

Ce travail s’inscrit dans un contexte de contrôle de la pollution des ressources en eau. On s’intéresse plus particulièrement à l’impact des engrais d’origine agricole sur la qualité de l’eau, en alliant modélisation économique et hydrogéologique. Pour cela, nous définissons d’une part un objectif économique spatio-temporel prenant en compte le compromis entre l’utilisation d’engrais et les coûts de dépollution. D’autre part, nous décrivons le transport du polluant dans le sous-sol (3D en espace) par un système non linéaire d’équations aux dérivées partielles couplées de type parabolique (réaction-convection-dispersion) et elliptique dans un domaine borné. Nous prouvons l’existence globale d’une solution au problème de contrôle optimal. L’unicité est quant à elle démontrée par analyse asymptotique pour le problème effectif tenant compte de la faible concentration d’engrais en sous-sol. Nous établissons les conditions nécessaires d’optimalité et le problème adjoint associé à notre modèle. Quelques exemples analytiques sont donnés et illustrés. Nous élargissons ces résultats au cadre de la théorie des jeux, où plusieurs joueurs interviennent, et prouvons notamment l’existence d’un équilibre de Nash. Enfin, ce travail est illustré par des résultats numériques (2D en espace), obtenus en couplant un schéma de type Éléments Finis Mixtes avec un algorithme de gradient conjugué non linéaire
This work is devoted to water ressources pollution control. We especially focus on the impact of agricultural fertilizer on water quality, by combining economical and hydrogeological modeling. We define, on one hand, the spatio-temporal objective, taking into account the trade off between fertilizer use and the cleaning costs. On an other hand, we describe the pollutant transport in the underground (3D in space) by a nonlinear system coupling a parabolic partial differential equation (reaction-advection-dispersion) with an elliptic one in a bounded domain. We prove the global existence of the solution of the optimal control problem. The uniqueness is proved by asymptotic analysis for the effective problem taking into account the low concentration fertilizer. We define the optimal necessary conditions and the adjoint problem associated to the model. Some analytical results are provided and illustrated. We extend these results within the framework of game theory, where several players are involved, and we prove the existence of a Nash equilibrium. Finally, this work is illustrated by numerical results (2D in space), produced by coupling a Mixed Finite Element scheme with a nonlinear conjugate gradient algorithm

L'objet de cette thèse est d’étudier l'existence de solution pour une classe de systèmes d'évolution fortement couplés, ainsi que la limite singulière d'une équation aux dérivées partielles d'advection-réaction-diffusion.Au chapitre 1, nous d écrivons brièvement la dérivation d'un modèle d'intrusion saline pour des aquifères confinés et non confinés. Dans ce but nous nous appuyons sur la loi de Darcy et la loi de conservation de masse en négligeant l'effet de la dimension verticale.Au chapitre 2, nous considérons un système qui généralise le modèle d'intrusion saline dans des aquifères non confinés. C'est un système non linéaire parabolique dégénéré fortement couplé. Après avoir discrétisé en temps, gelé et tronqué des coefficients et finalement régularisé les équations, nous appliquons le théorème de Lax-Milgram pour prouver l'existence et l'unicité de la solution d'un problème linéaire associé. Nous appliquons ensuite un théorème du point fixe pour démontrer l'existence d'une solution du problème non linéaire approché. Nous obtenons de plus une estimation d'entropie, qui permet en particulier de démontrer la positivité de la solution. Finalement, nous passons à la limite dans le système et dans l'entropie pour prouver l'existence de solution pour le problème initial.Au chapitre 3, nous montrons l'existence de solution pour un système qui contient en particulier le modèle d'intrusion saline dans des aquifères confinés. Ce système est semblable au système du chapitre 2, mais la pression intervient comme inconnue supplémentaire. Il se rajoute la contrainte que la somme des hauteurs inconnues est une fonction donnée et la pression est en fait un multiplicateur de Lagrange associé à cette contrainte. Nous obtenons de nouveau une inégalité d'entropie et nous effectuons également une estimation sur le gradient de la pression.Au chapitre 4, nous nous intéressons à la description d'interfaces abruptes qui se déplacent selon un mouvement donné, par exemple le mouvement par courbure moyenne. Des singularités peuvent apparaître en temps fini ce qui explique la nécessité de définir une nouvelle notion de surface. Dans ce chapitre, on introduit la notion de "varifolds", ou surfaces généralisées, qui étendent la notion de "manifolds". A ces varifolds on associe une courbure moyenne généralisée ainsi qu'une vitesse normale généralisée.Au chapitre 5, nous considérons une équation d'advection-réaction-diffusion qui intervient dans un système de chimiotaxie-croissance proposé par Mimura et Tsujikawa. L'inconnue est la densité de population qui est soumise aux effets de diffusion et de croissance et qui a tendance à migrer vers des forts gradients de la substance chimiotactique. Quand un petit paramètre tend vers zéro, la solution converge vers une fonction étagée ; l'interface diffuse associée converge vers une interface abrupte qui se déplace selon un mouvement par courbure moyenne perturbé. Nous représentons ces interfaces par des varifolds définis à partir de la fonctionnelle de Lyapunov du problème d'Allen-Cahn. Nous établissons une formule de monotonie et nous montrons une propriété d'équipartition de l'énergie. Nous prouvons de plus que le varifold est rectifiable et que la fonction de multiplicité associée est presque partout entière
The aim of this thesis is to study the existence of a solution for a class of evolution systems which are strongly coupled, as well as the singular limit of an advection-reaction-diffusion equation.In chapter 1, we describe briefly the derivation of a seawater intrusion model in confined and unconfined aquifers. For this purpose we combine Darcy's law with a mass conservation law and we neglect the effect of the vertical dimension.In chapter 2, we consider a system that generalizes the seawater intrusion model in unconfined aquifers. It is a strongly coupled nonlinear degenerate parabolic system. After discretizing in time, freezing and truncating the coefficients and finally regularizing the equations we apply Lax-Milgram theorem to prove the existence of a unique solution for the elliptic linear associated system. Then we apply a fixed point theorem to prove the existence of a solution for the nonlinear approximated problem. We obtain in addition an entropy estimate, which allows us in particular to prove the positivity of the solution. Finally, we pass to the limit in the system and the entropy in order to prove the existence of a solution for the initial problem.In chapter 3, we prove the existence of a solution for a system that contains in particular the seawater intrusion model in confined aquifers. This system is very similar to that introduced in chapter 2, only the pressure is a new unknown and we have the constraint that the sum of the unknown heights is a given function. The pressure is the Lagrange multiplier associated to the constraint. We obtain again an entropy estimate and we establish an estimate on the gradient of the pressure.In chapter 4, we are interested in the study of sharp interfaces that moves by a certain flow, by mean curvature flow for example. Singularities may occur in finite time which explains the necessity of having a differnet notion of surfaces. In this chapter, we introduce the notion of "varifolds" or generalized surfaces that extend the notion of manifolds. To these varifolds we associate a generalized mean curvature and a generalized normal velocity.In chapter 5, we consider an advection-reaction-diffusion equation arising from a chemotaxis-growth system proposed by Mimura and Tsujikawa. The unknown is the population density which is subjected to the effects of diffusion, of growth and to the tendency of migrating toward higher gradients of the chemotactic substance. When a small parameter tends to zero, the solution converges to a step function; the associated diffuse interface converges to a sharp interface which moves by perturbed mean curvature. We represent these interfaces by varifolds defined by the Lyapunov functional of the Allen-Cahn problem. We establish a monotonicity formula and we prove a property of equipartition of energy. We prove also the rectability of the varifold and that the multiplicity function is almost everywhere integer

Les système nanomécaniques permettent d’explorer les relations physiques fondamentales entre les propriétés élastiques, thermiques and électromagnétiques des solides. Ils sont de surcroît souvent sujets à de fortes nonlinéarités – du fait de leurs dimensions nanométriques – ce qui les rend intéressants pour étudier des concepts fondamentaux tels que la synchronisation ou le chaos. Ces systèmes nanomécaniques peuvent être mis en interaction avec une cavité optiques ou couplés à des actuateurs électrostatiques. Ces deux approches sont étudiées dans le cadre de l’électro-optomécanique. Dans ce travail de thèse nous mettons à profit la versatilité des cristaux photoniques pour étudier la dynamique non linéaire optique et mécanique induite par la modulation cohérente de l’excitation de systèmes électromécaniques ou optomécaniques.Dans un premier temps nous utilisons une plateforme nanophotonique combinant une membrane d’InP suspendue au-dessus d’un guide de silicium intégré. La membrane comprend un cristal photonique bidimensionnel comprenant plusieurs cavités-défauts couplées entre elles par champ évanescent. Ces cavités constituent une molécule photonique dont les modes propres électromagnétiques peuvent être sondés par un laser, permettant ainsi d’accéder aux spectre de bruit mécanique de la membrane. L’utilisation d’une modulation cohérente du champ en entrée, nous démontrons le transfert du motif spectral depuis le domaine optique vers le domaine mécanique. La présence de nonlinéarités thermo-optiques dans le système mène à une désymétrization du spectre de bruit mécanique. L’expérience est décrite théoriquement par une approche de Floquet. Finalement, en se plaçant dans un régime de bistabilité thermo-optique, nous démontrons l’amplification d’un signal de faible amplitude dans un mode photonique par résonance vibrationnelle.Dans une seconde partie, nous étudions deux membranes à cristal photonique couplées entre elles mécaniquement. Le système est actué par un dispositif électro-capacitif et sondé par lecture optomécanique. Sous excitation suffisamment faible, le système peut être efficacement calibré au travers d’un modèle linéaire. Les fortes nonlinéarités mécaniques du système se manifestent lorsqu’une excitation plus forte est utilisée, ce qui est modélisé par un modèle impliquant deux oscillateurs de Duffing couplés et forcés. Cette fois l’utilisation d’une modulation cohérente de l’excitation induit une dynamique de route vers le chaos par doublement de périodes. L’excitation simultanée des deux modes normaux mécaniques dans leur régime non linéaire leur permet de se coupler de telle sortes que leur synchronisation en régime chaotique peut être étudiée. Le chaos pouvant être exploiter pour générer des nombres aléatoires, cette synchronisation chaotique bichromatique pourrait servir à développer de nouveaux protocoles de communication multi-spectrale.En perspective, ce travail ouvre la voie à l'étude de la dynamique collective dans de plus larges réseaux de systèmes optomécaniques
Nanomechanical systems are useful to inspect some fundamental aspects of physics such as the relations between the elastic, thermal and electromagnetic properties of solid-state objects. As many other nanometer scale systems, they are interestingly subjected to strong nonlinearities that can guide the emergence of ubiquitous phenomena - like synchronization and chaos – or be exploited for manipulating and processing information. Such nanomechanical systems can be put in interaction with an optical cavity or coupled to an electrostatic-actuator. These two approaches are embedded in the wide topic of electro-optomechanics. This work takes advantage of photonic crystal versatility to investigate the nonlinear optical and mechanical dynamics of such electro- or optomechanical systems under coherent modulation.The first experiments use a nanophotonic platform combining a suspended InP membrane and an underneath integrated silicon waveguide. The membrane is etched with a 2D photonic crystal embedding several evanescently coupled defect cavities. These latter constitute a photonic molecule whose electromagnetic eigenmodes can be driven with a laser, via the waveguide, thus enabling a sensitive access to the mechanical noise spectrum of the membrane. Using a coherent modulation of the input laser field, we show how the input modulation sidebands are transferred to the mechanical frequency domain via the optomechanical interactions. The presence of thermo-optic nonlinearities further leads to a desymmetrization of the noise spectrum features. The experiment is described theoretically via Floquet theory. Relying on thermo-optic bistability, a bistable photonic mode is finally used to amplify a small signal by vibrational resonance.In a second part, we study two mechanically coupled electro-optomechanical photonic crystal nanocavities. Here the system is probed via an optomechanical scheme and driven with an integrated electro-capacitive actuation to drive the system's mechanical normal modes. Under low-power drive, the system can be robustly studied and calibrated using simple model of coupled damping harmonic oscillators. The use of higher power excitation reveals the strong intrinsic nonlinearities of the system which can be modeled by two driven coupled Duffing oscillators. The use of coherent modulation of the input force now reveals interesting period-doubling cascade route to chaos dynamics. The simultaneous excitation of both normal modes in their nonlinear regime makes them couple such that synchronization can be studied. As chaotic system can be used to generate chaos, this bichromatic synchronized chaotic dynamics could be exploited in novel multispectral data encryption protocols.This work open the way toward the exploration of large optomechanical arrays, in which collective dynamics could be studied

Cette thèse de doctorat a été réalisée dans le cadre d’une convention CIFRE établie entre le laboratoire LAMIH UMR CNRS 8201 et l’équipementier automobile Valeo. Les problématiques de la thèse s’inscrivent dans un contexte proche de l’industrialisation à savoir l’estimation des couples embrayages lors des phases de changement de rapport dans une transmission à double embrayage et le contrôle de la vitesse de glissement de l’embrayage pour une transmission à simple ou à double embrayage. Afin de répondre à la problématique d’estimation de couple embrayage, un capteur virtuel de couple a été développé. Ce capteur virtuel est composé d’une estimation de la torsion des arbres de transmission basée sur une méthode d’ajout de dents virtuelles dans les capteurs incrémentaux d’une part, et d’un observateur Takagi-Sugeno discrétisé dans le domaine angulaire d’autre part. Ce procédé a permis l’estimation des couples embrayages d’une transmission à double embrayage sur une plateforme de simulation fournie par Valeo comportant un modèle complet de véhicule. Le procédé a également été testé sur des données réelles de débattement de double volant amortisseur, des estimations en ligne du couple moteur instantané acyclique et du couple embrayage ont alors été obtenues. Au cours de l’étude dédiée au glissement contrôlé de l’embrayage, une stratégie de contrôle robuste aux perturbations extérieurs induites par le conducteur et aux dispersions du système a été développée. Cette stratégie permet de répondre aux spécifications du cahier des charges en simulation. La stratégie de glissement contrôlé a également été validée sur véhicule lors d’essais sur piste et sur banc à rouleau
This PhD has been done in an industrial framework with the so-called automotive equipment manufacturer Valeo and the laboratory of Automatic Control, Mechanics, Informatics and Human Sciences LAMIH UMR CNRS 8201 of Valenciennes, France. The issues of this PhD are closed to the industrialization context such as the clutch torque estimation during the gear shifting phases in a dual clutch transmission and the clutch slip speed control. In order to solve the inline clutch torque estimation issues, a virtual torque sensor has been developed. On one hand, this virtual sensor is composed of a shaft torsion angle estimation based on a method of virtual tooth adding into the encoder sensors. On another hand, discrete angular domain unknown input Takagi-Sugeno observer is used for the estimation of the dynamic part of transmitted torque. This methodology has permitted the estimation of the transmitted clutch torque of a dual clutch transmission in simulation. The simulation results have been obtained on a simulation platform provided by Valeo, including a complete vehicle model. The methodology has also been tested on real data of a dual mass flywheel angular deflection. Thus, online estimation of instantaneous acyclic engine torque and transmitted clutch torque has been obtained. Concerning the slip control, a robust control strategy against the external disturbances leaded to the driver and the system parameters incertitude has been developed. This strategy permits to ensure the required specifications in simulation. The strategy has been also validated on vehicle during track trials

Cette thèse est consacrée à l’étude du transport réactif dans les réserves en eaux. Elle est structurée en deux parties distinctes : la première porte sur l’élaboration de solveurs chimiques et la seconde sur l’étude mathématique d’une classe de modèles décrivant des écoulements en eaux peu profondes en interaction avec les eaux de surface.Dans la première partie du travail, on s’intéresse à la résolution numérique des équilibres thermodynamiques qui conduisent à des systèmes non linéaires complexes et très mal conditionnés. Dans ce travail, on combine une formulation particulière du système d’équilibre chimique, appelée la méthode des fractions continues positives, avec deux méthodes numériques itératives, la méthode d’Accélération d’Anderson et des méthodes d’extrapolation vectorielle, à savoir les méthodes MPE (minimal polynomial extrapolation) et RRE (reduced rank extrapolation). Le principal avantage de ces approches est d’éviter de former la matrice jacobienne et donc d’éviter les problèmes liés aux mauvais conditionnements de la matrice. Des tests numériques sont faits, notamment sur le cas test de l’acide gallique et sur le cas test 1D de référence du benchmark MoMas. Ces essais illustrent la grande efficacité de cette approche par rapport aux résolutions classiques résultant de la méthode de Newton-Raphson. Dans la seconde partie de la thèse, on introduit et étudie des modèles de type Richards-Dupuit pour décrire les écoulements dans des aquifères peu profonds. L’idée est de coupler les deux types d’écoulements principaux présents dans l’aquifère : celui de la partie insaturée avec celui de la partie saturée. Le premier est décrit par le problème classique de Richards dans la frange capillaire supérieure.Le second résulte de l’approximation de Dupuit après intégration verticale des lois de conservation entre le fond de l’aquifère et l’interface de saturation. Le modèle final consiste en un système fortement couplé d’edp de type parabolique qui sont définies sur un domaine dépendant du temps. Nous montrons comment la prise en compte de la faible compressibilité du fluide permet d’éliminer la dégénérescence présente dans la dérivée temporelle de l’équation de Richards. Puis nous utilisons le cadre général des équations paraboliques dans des domaines non cylindriques introduit par Lions pour donner un résultat d’existence global en temps. Nous présentons l’analyse mathématique du premier modèle qui correspond au cas isotrope et non conservatif. Puis nous généralisons l’étude au cas anisotrope et conservatif
This thesis is devoted to the study of reactive transport in water reserves. It is structured in two distinct parts : the first deals with the development of chemical solvers and the second with the mathematical study of a class of models describing flows in shallow water interacting with the surface water. In the first part of the work, we focus on the numerical resolution of thermodynamic equilibria which lead to complex and very badly conditioned nonlinear systems. In this work, we combine aparticular formulation of the chemical equilibrium system, called the method of positive continuous fractions, with two iterative numerical methods, the Anderson Acceleration method and vector extrapolation methods, namely the MPE (minimal polynomial extrapolation) and RRE (reduced rank extrapolation) methods.The main advantage of these approaches is to avoid forming the Jacobian matrix and thus to avoid problems linked to bad conditioning of the matrix. Numerical tests are performed, especially on the test case of gallic acid and on the reference 1D case of the MoMas benchmark. These tests illustrate the great efficiency of this approach compared to classical solutions resulting from the Newton-Raphson method. In the second part of the thesis, we introduce and study Richards-Dupuit type models to describe flows in shallow aquifers. The idea is to couple the two main types of flows in the aquifer : that of the unsaturated part with that of the saturated part. The first is described by the classic Richardsproblem in the upper capillary fringe. The second results from Dupuit’s approximation after vertical integration of the conservation laws between the bottom of the aquifer and the saturation interface. The final model consists of a strongly coupled system of parabolic type pde which are defined on a time dependent domain. We show how taking into account the low compressibility of the fluid makes it possible to eliminate the degeneration in the time derivative term of the Richards equation.Then we use the general framework of parabolic equations in non-cylindrical domains introduced by Lions to give a global existence result in time. We present the mathematical analysis of the first model which corresponds to the isotropic and non-conservative case. Then we generalize the study to the anisotropic and conservative case

Les systèmes de jeux à champ moyen (MFG) décrivent des configurations d’équilibre dans des jeux différentiels avec un nombre infini d’agents infinitésimaux. Cette thèse s’articule autour de trois contributions différentes la théorie des jeux à champ moyen. Le but principal est d’explorer des applications et des extensions de cette théorie, et de proposer de nouvelles approches et idées pour traiter les questions mathématiques sous-jacentes. Le premier chapitre introduit en premier lieu les concepts et idées clés que nous utilisons tout au long de la thèse. Nous introduisons le problème MFG et nous expliquons brièvement le lien asymptotique avec les jeux différentiels N-joueurs lorsque N → ∞. Nous présentons ensuite nos principaux résultats et contributions. Le Chapitre 2 explore un modèle MFG avec un mode d’interaction non anticipatif (joueurs myopes). Contrairement aux modèles MFG classiques, nous considérons des agents moins rationnels qui n’anticipent pas l’évolution de l’environnement, mais observent uniquement l’état actuel du système, subissent les changements et prennent des mesures en conséquence. Nous analysons le système couplé d’EDP résultant de ce modèle, et nous établissons le lien rigoureux avec le jeu correspondant à N-Joueurs. Nous montrons que la population d’agents peut s’auto-organiser par un processus d’autocorrection et converger exponentiellement vite vers une configuration d’équilibre MFG bien connue. Les Chapitres 3 et 4 concernent l’application de la théorie MFG pour la modélisation des processus de production et commercialisation de produits avec ressources épuisables (ex. énergies fossiles). Dans le le Chapitre 3, nous proposons une approche variationnelle pour l’étude du système MFG correspondant et analysons la limite déterministe (sans fluctuations de la demande) dans un régime où les ressources sont renouvelables ou abondantes. Nous traitons dans le Chapitre 4 l’approximation MFG en analysant le lien asymptotique entre le modèle de Cournot à N-joueurs et le modèle de Cournot MFG lorsque N est grand. Enfin, le Chapitre 5 considère un modèle MFG pour l’exécution optimale d’un portefeuille d’actifs dans un marché financier. Nous explicitons notre modèle MFG et analysons le système d’EDP résultant, puis nous proposons une méthode numérique pour calculer la stratégie d’exécution optimale pour un agent étant donné son inventaire initial, et présentons plusieurs simulations. Par ailleurs, nous analysons l’influence de l’activité de trading sur la variation intraday de la matrice de covariance des rendements des actifs. Ensuite, nous vérifions nos conclusions et calibrons notre modèle en utilisant des données historiques des transactions pour un pool de 176 actions américaines
Mean Field Game (MFG) systems describe equilibrium configurations in differential games with infinitely many infinitesimal interacting agents. This thesis is articulated around three different contributions to the theory of Mean Field Games. The main purpose is to explore the power of this theory as a modeling tool in various fields, and to propose original approaches to deal with the underlying mathematical questions. The first chapter presents the key concepts and ideas that we use throughout the thesis: we introduce the MFG problem, and we briefly explain the asymptotic link with N-Player differential games when N → ∞. Next we present our main results and contributions, that are explained more in details in the subsequent chapters. In Chapter 2, we explore a Mean Field Game model with myopic agents. In contrast to the classical MFG models, we consider less rational agents which do not anticipate the evolution of the environment, but only observe the current state of the system, undergo changes and take actions accordingly. We analyze the resulting system of coupled PDEs and provide a rigorous derivation of that system from N-Player stochastic differential games models. Next, we show that our population of agents can self-organize and converge exponentially fast to the well-known ergodic MFG equilibrium. Chapters 3 and 4 deal with a MFG model in which producers compete to sell an exhaustible resource such as oil, coal, natural gas, or minerals. In Chapter 3, we propose an alternative approach based on a variational method to formulate the MFG problem, and we explore the deterministic limit (without fluctuations of demand) in a regime where re- sources are renewable or abundant. In Chapter 4 we address the rigorous link between the Cournot MFG model and the N-Player Cournot competition when N is large. In Chapter 5, we introduce a MFG model for the optimal execution of a multi-asset portfolio. We start by formulating the MFG problem, then we compute the optimal execution strategy for a given investor knowing her/his initial inventory and we carry out several simulations. Next, we analyze the influence of the trading activity on the observed intra-day pattern of the covariance matrix of returns and we apply our results in an empirical analysis on a pool of 176 US stocks

L'étude de la propagation de la lumière dans les fibres optiques monomodes requiert la prise en compte de plusieurs phénomènes compliqués tels que la dispersion modale de polarisation et l'effet Kerr. Il s'est avéré que l'évolution de l'enveloppe lentement variable du champ électrique est bien décrite par un système couplé d'équations de Schrödinger non linéaires à coefficients aléatoires : l'équation de Manakov PMD. Cette équation fait intervenir différentes échelles dont le ratio est donné par un petit paramètre. La première partie de ce travail consiste à étudier le comportement asymptotique de la solution de l'équation de Manakov PMD lorsque ce petit paramètre tend vers zéro. En généralisant la théorie de l'Approximation-Diffusion au cadre de la dimension infinie, on a montré que la dynamique asymptotique est donnée par une équation aux dérivées partielles stochastiques dirigée par un mouvement brownien de dimension trois. Dans une seconde partie, nous proposons un schéma de différences finies de type Crank Nicolson pour cette équation pour lequel nous obtenons un ordre de convergence en probabilité d'ordre 1/2. La discrétisation du bruit doit être implicite afin d'obtenir un schéma conservatif et stable. Enfin la dernière partie est relative à la simulation numérique de la dispersion modale de polarisation et à ses effets sur la propagation et la collision de solitons de Manakov. Dans ce cadre, on propose une méthode de réduction de variance valable pour les équations aux dérivées partielles stochastiques.