Academic literature on the topic 'Systèmes dynamiques chaotiques'

État et situation d’un système postérieurs à un choc, à un traumatisme, la transition « évoque l’idée d’un passage, d’un état à un autre, d’une position à une autre, que ce passage s’effectue graduellement, progressivement et enfin qu’il se passe quelque chose dans l’entre-deux ». C’est un processus qui engendre une interaction continue entre le processus amont et le processus aval, suivant la définition même du processus.À ce titre, elle établit la liaison entre le choc qui a initié le processus de résistance et le processus de résilience. Le changement qui en résulte affecte la durabilité du « système télescopé et traumatisé (STT) ».C’est à partir de ces divers éléments de définition que les enjeux et les conditions de vie (ou de sur-vie) de la transition sont précisés à l’aide de différents exemples et modèles en lien avec la systémique et ses applications dans le domaine du changement.Forgeant un système dynamique complexe, non-linéaire et chaotique, la transition avec la résilience (réactive et pro-active) induit le changement qui à son tour crée l’incertitude. Une adaptation s’impose pour comprendre le futur qui vient et qui est imprédictible dans un monde VICA ! Le processus du changement en U semble univoque et traduit paradoxalement une voie toute tracée, ce qui n’est pas le cas du processus en Wn ou en L ! Loi de Murphy oblige !La pensée systémique semble se présenter en panacée de par la durabilité des systèmes complexes, mais un concept plus fécond lui vient en aide, suivant la dialogique morinienne pour y adjoindre le concept de « système résilient et agile » ; marquant le passage de STT à SRA !Telle est la conviction de cet article qui essaie d’innover dans le domaine de la science politique, notamment en politiques publiques elles-mêmes systèmes complexes...

RésuméL’étude publiée en 1922 par A. Storch aborde les comportements, le vécu et la pensée schizophréniques par analogie avec les stades précoces du développement de l’enfant et avec les structures de la pensée de certains peuples primitifs.En nous fondant sur l’œuvre de Piaget qui a élargi la psychologie génétique en un structuralisme épistémologique, nous pouvons aujourd’hui entreprendre l’interprétation de la psychopathologie de la désintégration psychotique au cours des psychoses endogènes et exogènes. Parmi les processus interactifs qui se jouent entre l’organisme et le monde ambiant, l’attention sélective revêt une importance particulière. Elle reste insérée dans le fonctionnement global de l’organisme (au sens de Piaget), ce qui en fait un système fonctionnel dynamique. Les structures en sont représentées dans le modèle systémique d’Anochin.Des observations de schizophrènes et de psychoses modèles expérimentales (portant principalement sur le vécu psychotique et sur la constitution des concepts de l’espace et du temps) montrent les perturbations de la saisie et du traitement de l’information. Ces perturbations font que l’organisme est submergé d’impressions sensorielles chaotiques ce qui l'amène à adopter des comportements de réparation, en particulier : - la régression avec reprise de schémas qui dans l'ontogenèse correspondent à un rapport au monde dépourvu d’information structurée - et une tendance excessive au repli qu’on peut mettre en évidence, dans un groupe de schizophrènes, par l’étude de paramètres végétatifs. Cette mise en évidence se fait grâce à une situation expérimentale qui, chez les sujets sains, provoque une réaction d’orientation. Chez environ 40 % des schizophrènes cette réaction fait défaut ou il y a une habituation extrâmement rapide. Ces patients, comparés au groupe sans habituation ont au niveau psychopathologique des symptômes de repli. Des études récentes, portant sur la prédiction de la réponse au traitement, montrent que le groupe des répondeurs - c’est-à-dire de ceux qui n’ont pas cette tendance au repli - a un pronostic moins favorable au traitement neuroleptique.Pour finir, nous indiquons que, au cours de la désintégration psychotique, les différents systèmes psychophysiologiques obéissent au principe primitif du “tout ou rien”. Ils perdent les degrés de liberté supplémentaires caratéristiques d’une modulation mieux différenciée. Ceci nous ramène à Piaget et à sa conceptualisation du structuralisme comme construction, c’est-à-dire au primat de l’opération.

Ici, précisons de quoi nous parlons: de la démocratie ou de la pratique démocratique?Il s'agit selon l'invitation au colloque de la pratique démocratique. A l'appui de cette affirmation, le sous titredu colloquequi suggère une déclinaison spécifique: "savoir gouverner et être gouverné". L'objet de l'intervention est ici indiqué. C'est la pratique démocratique qui nous concerne et qui peut nous permettre de préciser ce qu'est la démocratie en tant que concept dynamique et processus. Incidemment, puisqu'il s'agit d'un concept mis au pluriel dans le titre ("démocraties"), nous proposons d'enlever le "s"de démocratie ainsi que son article pour garder à l'esprit une approche générique et conceptuelle.Le problème est le suivant: comment savoir gouverner et savoir si l'on sait gouverner et être gouverné sans une pratiqueetun accès à cette pratique? Pour pratiquer faut-il nécessairement se trouver en situation d'être élu? L'institution électorale elle-même est-elle nécessaire? Si la pratique est quotidienne et locale, quelle en est le contenu et l'aire de jeu à repérer pour la "penser"dans sa propre tête? Penser démocratie c'est approfondir "complexité", c'est aussi clarifier le concept "subsidiarité"posant le problème de la délégation. L'hypothèse de base est l'équivalence entre démocratie et complexité. Si l'on pense démocratie, on pense complexité et transdisciplinarité. L'exercice se porte alors sur la régulation d'un système intrinsèquement instable et chaotique soumis comme toute chose à l'incomplétude. Démocratie est alors un des champs d'"application-terrain".Instabilité et fiabilité peuvent-il être conciliées? Y-a-t-il un élément invariant qui puisse combiner ces deux notions antinomiques d'instabilité et de fiabilité? Si c'est le cas, quels sont les concepts auxquels se référencer pour traiter de l'aporie démocratique? C'est la question multiséculaire des sociétés humaines que nous tenterons d'ordonnancer.

International audience For a real number $β >1$, we say that a permutation $π$ of length $n$ is allowed (or realized) by the $β$-shift if there is some $x∈[0,1]$ such that the relative order of the sequence $x,f(x),\ldots,f^n-1(x)$, where $f(x)$ is the fractional part of $βx$, is the same as that of the entries of $π$ . Widely studied from such diverse fields as number theory and automata theory, $β$-shifts are prototypical examples of one-dimensional chaotic dynamical systems. When $β$ is an integer, permutations realized by shifts have been recently characterized. In this paper we generalize some of the results to arbitrary $β$-shifts. We describe a method to compute, for any given permutation $π$ , the smallest $β$ such that $π$ is realized by the $β$-shift. Pour un nombre réel $β >1$, on dit qu'une permutation $π$ de longueur $n$ est permise (ou réalisée) par $β$-shift s'il existe $x∈[0,1]$ tel que l'ordre relatif de la séquence $x,f(x),\ldots,f^n-1(x)$, où $f(x)$ est la partie fractionnaire de $βx$, soit le même que celui des entrées de $π$ . Largement étudiés dans des domaines aussi divers que la théorie des nombres et la théorie des automates, les $β$-shifts sont des prototypes de systèmes dynamiques chaotiques unidimensionnels. Quand $β$ est un nombre entier, les permutations réalisées par décalages ont été récemment caractérisées. Dans cet article, nous généralisons certains des résultats au cas de $β$-shifts arbitraires. Nous décrivons une méthode pour calculer, pour toute permutation donnée $π$ , le plus petit $β$ tel que $π$ soit réalisée par $β$-shift.

La culture, mot ancien, a une longue histoire et pour les anthropologues, qui n’ont pas envie de l’abandonner, elle garde tout son potentiel heuristique. Du verbe latin colere (cultiver, habiter, coloniser), la culture a immédiatement montré une remarquable versatilité sémantique. Comme Cicéron (106-43 av. J.-C.) l’avait dit, il n’y a pas seulement la culture des champs, il y a aussi la cultura animi : c’est-à-dire la philosophie. Cultura animi est une expression que l’on retrouve également au début de la modernité, chez le philosophe anglais Francis Bacon (1561-1626). Elle devient ensuite « culture de la raison » chez René Descartes (1596-1650) et chez Emmanuel Kant (1724-1804). Mais au XVIIIe siècle, nous assistons à un autre passage, lorsque la culture, en plus des champs, de l’âme et de la raison humaine, commence à s’appliquer également aux coutumes, aux mœurs, aux usages sociaux, comme cela est parfaitement clair chez des auteurs tels que François-Marie Arouet, dit Voltaire (1694-1778), et Johann Gottfried Herder (1744-1803). Nous pourrions nous demander pourquoi ces auteurs ne se sont pas contentés de continuer à utiliser les termes désormais testés de coutumes et de mœurs. Pourquoi ont-ils voulu ajouter la notion de culture? Qu’est-ce que cette notion offrait de plus? Autrement dit, quelle est la différence entre culture et coutume? Dans l’usage de Voltaire et de Herder, la culture est presque toujours singulière, alors que les coutumes sont très souvent plurielles. La culture a donc pour effet d’unifier les coutumes dans un concept unique, en surmontant leur pluralité désordonnée et désorientante : les coutumes sont nombreuses, variables, souvent divergentes et contradictoires (les coutumes d’une population ou d’une période historique s’opposent aux coutumes d’autres sociétés et d’autres périodes), alors que la culture désigne une capacité, une dimension, un niveau unificateur. Dans son Essai sur les mœurs (1756), Voltaire a clairement distingué le plan de la « nature », dont dépend l’unité du genre humain, de celui de la « culture », où les coutumes sont produites avec toute leur variété : « ainsi le fonds est partout le même », tandis que « la culture produit des fruits divers », et les fruits sont précisément les coutumes. Comme on peut le constater, il ne s’agit pas uniquement d’opposer l’uniformité d’une part (la nature) et l’hétérogénéité d’autre part (les coutumes). En regroupant les coutumes, Voltaire suggère également une relation selon laquelle le « fonds » est le terrain biologique, celui de la nature humaine, tandis que la culture indique le traitement de ce terrain et, en même temps, les fruits qui en découlent. Tant qu’on ne parle que de coutumes, on se contente de constater la pluralité et l’hétérogénéité des « fruits ». En introduisant le terme culture, ces fruits sont rassemblés dans une catégorie qui les inclut tous et qui contribue à leur donner un sens, bien au-delà de leur apparente étrangeté et bizarrerie : bien qu’étranges et bizarres, ils sont en réalité le produit d’une activité appliquée au terrain commun à toutes les sociétés humaines. Partout, les êtres humains travaillent et transforment l’environnement dans lequel ils vivent, mais ils travaillent, transforment et cultivent aussi la nature dont ils sont faits. Appliquée aux coutumes, la culture est donc à la fois ce travail continu et les produits qui en découlent. En d’autres termes, nous ne pouvons plus nous contenter d’être frappés par l’étrangeté des coutumes et les attribuer à une condition d’ignorance et aux superstitions : si les coutumes sont une culture, elles doivent être rapportées à un travail effectué partout, mais dont les résultats sont sans aucun doute étranges et hétérogènes. Il s’agit en tout cas d’un travail auquel chaque société est dédiée dans n’importe quel coin du monde. Nous ne voulons pas proposer ici une histoire du concept de culture. Mais après avoir mentionné l’innovation du concept de culture datant du XVIIIe siècle – c’est-à-dire le passage du sens philosophique (cultura animi ou culture de la raison) à un sens anthropologique (coutumes en tant que culture) –, on ne peut oublier que quelques décennies après l’Essai sur les mœurs (1756) de Voltaire, Johann Gottfried Herder, dans son Ideen zur Philosophie der Geschichte der Menschheit (1784-1791), fournit une définition de la culture digne d’être valorisée et soutenue par l’anthropologie deux siècles plus tard. Herder ne se limite pas à étendre la culture (Kultur) bien au-delà de l’Europe des Lumières, au-delà des sociétés de l’écriture (même les habitants de la Terre de Feu « ont des langages et des concepts, des techniques et des arts qu’ils ont appris, comme nous les avons appris nous-mêmes et, par conséquent, eux aussi sont vraiment inculturés »), mais il cherche le sens profond du travail incessant de la Kultur (1991). Pourquoi, partout, aux quatre coins du monde, les humains se consacrent-ils constamment à la formation de leur corps et de leur esprit (Bildung)? La réponse de Herder est dans le concept de l’homme en tant qu’être biologiquement défectueux (Mängelwesen), en tant qu’être qui a besoin de la culture pour se compléter : le but de la culture est précisément de fournir, selon différentes conditions historiques, géographiques et sociales, une quelque forme d’humanité. Selon Herder, la culture est « cette seconde genèse de l’homme qui dure toute sa vie » (1991). La culture est la somme des tentatives, des efforts et des moyens par lesquels les êtres humains « de toutes les conditions et de toutes les sociétés », s’efforcent d’imaginer et de construire leur propre humanité, de quelque manière qu’elle soit comprise (1991). La culture est l’activité anthropo-poïétique continue à laquelle les êtres humains ne peuvent échapper. Tel est, par exemple, le propre du rituel qui réalise la deuxième naissance, la véritable, celle de l’acteur/actrice social/e, comme dans les rites d’initiation ou la construction des rapports sociaux de sexe. La culture correspond aux formes d’humanité que les acteurs sociaux ne cessent de produire. Le but que Herder pensait poursuivre était de rassembler les différentes formes d’humanité en une seule connaissance généralisante, une « chaîne de cultures » qui, du coin du monde qu’est l’Europe des Lumières « s’étend jusqu’au bout de la terre » (1991). On peut soutenir que dans les quelques décennies de la seconde moitié du XVIIIe siècle, on avait déjà posé les bases d’un type de connaissance auquel on allait donner plus tard le nom d’anthropologie culturelle. Parmi ces prémisses, il y avait le nouveau sens du terme culture. Cependant, il faut attendre plus d’un siècle pour que ceux qui allaient être appelés anthropologues reprennent ce concept et en fassent le fondement d’une nouvelle science. La « science de la culture » est en fait le titre du chapitre I de Primitive Culture (1871) d’Edward Burnett Tylor, chapitre qui commence par la définition de la culture connue de tous les anthropologues : « Le mot culture ou civilisation, pris dans son sens ethnographique le plus étendu, désigne ce tout complexe comprenant à la fois les sciences, les croyances, les arts, la morale, les lois, les coutumes et les autres facultés et habitudes acquises par l’homme dans l’état social (Tylor1920). » Dans cette définition, les points suivants peuvent être soulignés : premièrement, la culture est un instrument qui s’applique de manière ethnographique à toute société humaine; deuxièmement, elle intègre une pluralité d’aspects, y compris les coutumes, de manière à former un « ensemble complexe »; troisièmement, les contenus de cet ensemble sont acquis non par des moyens naturels, mais par des relations sociales. Dans cette définition, la distinction – déjà présente chez Voltaire – entre le plan de la nature et le plan de la culture est implicite; mais à présent, le regard se porte avant tout sur la structure interne de la culture, sur les éléments qui la composent et sur la nécessité d’ancrer la culture, détachée de la nature, au niveau de la société. Il initie un processus de formation et de définition d’un savoir qui, grâce au nouveau concept de culture, revendique sa propre autonomie. La première fonction de la culture est en fait de faire voir le territoire réservé à la nouvelle science : un vaste espace qui coïncide avec tous les groupes humains, des communautés les plus restreintes et les plus secrètes aux sociétés qui ont dominé le monde au cours des derniers siècles. Mais jusqu’à quel point ce concept est-il fiable, solide et permanent, de sorte qu’il puisse servir de fondement au nouveau savoir anthropologique? On pourrait dire que les anthropologues se distinguent les uns des autres sur la base des stratégies qu’ils adoptent pour rendre le concept de culture plus fiable, pour le renforcer en le couplant avec d’autres concepts, ou, au contraire, pour s’en éloigner en se réfugiant derrière d’autres notions ou d’autres points de vue considérés plus sûrs. La culture a été un concept novateur et prometteur, mais elle s’est aussi révélée perfide et dérangeante. On doit réfléchir aux deux dimensions de la culture auxquelles nous avons déjà fait allusion: le travail continu et les produits qui en découlent. Les anthropologues ont longtemps privilégié les produits, à commencer par les objets matériels, artistiques ou artisanaux : les vitrines des musées, avec leur signification en matière de description et de classification, ont suggéré un moyen de représenter les cultures, et cela même lorsque les anthropologues se sont détachés des musées pour étudier les groupes humains en « plein air », directement sur le terrain. Quelles étaient, dans ce contexte, les coutumes, sinon les « produits » de la culture sur le plan comportemental et mental? Et lorsque la notion de coutume a commencé à décliner, entraînant avec elle le sens d’un savoir dépassé, la notion de modèle – les modèles de culture – a dominé la scène. Saisir des modèles dans n’importe quel domaine de la vie sociale – de la parenté à la politique, de la religion au droit, de l’économie à l’art, etc. – ne correspondait-il pas à une stratégie visant à construire, dans un but descriptif et analytique, quelque chose de solide, de répétitif et de socialement répandu, bref, un système capable de se reproduire dans le temps? Ce faisant, on continuait à privilégier les produits avec leur continuité et leur lisibilité au détriment du travail continu et obscur de la culture, de son flux presque insaisissable et imprévisible. Nous pensons par exemple à la quantité incroyable et chaotique de gestes, mots, idées, émotions qui se succèdent, se chevauchent, se croisent et se mélangent dans chaque moment de la vie individuelle et collective. Le sentiment que les produits toujours statiques et achevés de la culture priment sur sa partie la plus significative et la plus dynamique (une sorte de matière ou d’énergie obscure), devient un facteur de frustration et de perturbation pour l’entreprise anthropologique. À cet égard, les anthropologues ont adopté plusieurs voies de sortie, notamment : la tendance à réifier la culture, ce qui lui confère une solidité presque ontologique (c’est le cas d’Alfred L. Kroeber 1952); l’intention de réduire sa portée et de l’ancrer ainsi dans une réalité plus cohérente et permanente, telle que pourrait être la structure sociale dans ses diverses articulations (Alfred Radcliffe-Brown 1968 et plus largement l’anthropologie sociale); la tentative de capturer dans les manifestations apparemment plus libres et arbitraires de la culture, que peuvent être les mythes, l’action de structures mentales d’un ordre psycho-biologique (Claude Lévi-Strauss 1958 et 1973 et plus largement le structuralisme). Plus récemment, la méfiance envers la culture a pris la forme même de son refus, souvent motivé par une clef politique. Comment continuer à s’appuyer sur la culture, si elle assume désormais le rôle de discrimination autrefois confié à la race? Plus la culture devient un terme d’usage social et politique, identifié ou mélangé à celui d’identité et se substituant à celui de race, plus des anthropologues ont décrété son caractère fallacieux et ont pensé à libérer la pensée anthropologique de cet instrument devenu trop dangereux et encombrant. Lila Abu-Lughod écrit en 1991 un essai intitulé Against Culture et les critiques du concept de culture refont surface dans le texte d’Adam Kuper, Culture, 1998 et 1999. Mais si l’anthropologie doit se priver de ce concept, par quoi le remplacera-t-elle? Est-il suffisant de se contenter de « pratiques » et de « discours » qu’Abu-Lughod a puisés chez Michel Foucault (1966)? C’est une chose de critiquer certains usages de la notion de culture, tels que ceux qui tendent à la confondre avec l’identité, c’en est une autre d’accepter le défi que ce concept présente à la fois par son caractère fluide et manipulable, et par les expansions fertiles dont il est capable. Par « pratique » et « discours », réussirons-nous, par exemple, à suivre l’expansion de la culture vers l’étude du comportement animal et à réaliser que nous ne pouvons plus restreindre la « science de la culture » dans les limites de l’humanité (Lestel 2003)? Presque dans le sens opposé, la culture jette également les bases de la recherche ethnographique au sein des communautés scientifiques, une enquête absolument décisive pour une anthropologie qui veut se présenter comme une étude du monde contemporain (Latour et Woolgar 1979). Et quel autre concept que celui de culture pourrait indiquer de manière appropriée le « tout complexe » (complex whole) de la culture globale (Hamilton 2016)? Qu’est-ce que l’Anthropocène, sinon une vaste et immense culture qui, au lieu d’être circonscrite aux limites de l’humanité, est devenue une nouvelle ère géologique (Zalasiewicz et al. 2017)? Bref, la « science de la culture », formulée en 1871 par Edward Tylor, se développe énormément aujourd’hui : la culture est l’utilisation de la brindille comme outil de capture des termites par le chimpanzé, de même qu’elle correspond aux robots qui assistent les malades, aux satellites artificiels qui tournent autour de la Terre ou aux sondes envoyées dans le plus profond des espaces cosmiques. Ces expansions de la culture sont sans aucun doute des sources de désorientation. Au lieu de se retirer et de renoncer à la culture, les anthropologues culturels devraient accepter ce grand défi épistémologique, en poursuivant les ramifications de cette notion ancienne, mais encore vitale, dynamique et troublante.

Ce mémoire a pour objectif d'étudier la stabilité de systèmes dynamiques chaotiques à partir de la structure géométrique de leurs attracteurs dont une partie s'appuie sur une variété appelée variété lente. Dans ce but, une nouvelle approche basée sur certains aspects du formalisme de la Mécanique du Point et de la Géométrie Différentielle a été développée et a conduit à une interprétation géométrique et cinématique de l'évolution des courbes trajectoires, intégrales de ces systèmes dynamiques au voisinage de la variété lente.

L'utilisation du formalisme de la Mécanique du Point a permis, grâce à l'emploi des vecteurs, vitesse et accélération instantanées attachées à un point courant de la courbe trajectoire, de discriminer le domaine lent du domaine rapide et de situer la position de la variété lente à l'intérieur de l'espace des phases.

Certaines notions de Géométrie Différentielle, comme la courbure, la torsion et le plan osculateur, ont fourni une équation analytique de la variété lente indépendante des vecteurs propres lents du système linéaire tangent, donc définie sur un plus grand domaine de l'espace des phases.

La variété lente a alors été envisagée comme le lieu des points où la courbure des courbes trajectoires, intégrales de ces systèmes dynamiques, est minimum (en dimension deux ce minimum devient égal à zéro). Le signe de la torsion a permis, de caractériser son attractivité et, de discriminer la partie attractive de la partie répulsive de la variété lente et de statuer sur la stabilité de ces courbes trajectoires.

Ainsi, la présence dans l'espace des phases d'une variété lente attractive qui contraint les courbes trajectoires, intégrales du système dynamique à visiter son voisinage permet d'étudier la structure de l'attracteur.

Cette approche basée sur certains aspects du formalisme de la Mécanique du Point et de la Géométrie Différentielle et qui s'est accompagnée de l'élaboration de programmes numériques a permis de constituer un nouvel outil d'investigation des systèmes dynamiques chaotiques.

Son application à des modèles de référence comme celui de B. Van der Pol, de L.O. Chua ou d'E.N. Lorenz a permis d'obtenir plus directement et avec précision l'équation analytique de leur variété lente. De plus, une étude détaillée des modèles de type prédateur-proie comme celui de Rosenzweig-MacArthur ou d'Hastings-Powell, a conduit d'une part à la détermination de leur variété lente et d'autre part à la conception d'un nouveau modèle de type prédateur-proie à trois espèces appelé Volterra-Gause dont l'attracteur chaotique a la forme d'un escargot (chaotic snail shell).

Ce mémoire a pour objectif d'étudier la stabilité de systèmes dynamiques chaotiques à partir de la structure géométrique de leurs attracteurs dont une partie s'appuie sur une variété appelée variété lente. Dans ce but, une nouvelle approche basée sur certains aspects du formalisme de la Mécanique du Point et de la Géométrie Différentielle a été développée et a conduit à une interprétation géométrique et cinématique de l'évolution des courbes trajectoires, intégrales de ces systèmes dynamiques au voisinage de la variété lente. L'utilisation du formalisme de la Mécanique du Point a permis, grâce à l'emploi des vecteurs, vitesse et accélération instantanées attachées à un point courant de la courbe trajectoire, de discriminer le domaine lent du domaine rapide et de situer la position de la variété lente à l'intérieur de l'espace des phases. Certaines notions de Géométrie Différentielle, comme la courbure, la torsion et le plan osculateur, ont fourni une équation analytique de la variété lente indépendante des vecteurs propres lents du système linéaire tangent, donc définie sur un plus grand domaine de l'espace des phases. La variété lente a alors été envisagée comme le lieu des points où la courbure des courbes trajectoires, intégrales de ces systèmes dynamiques, est minimum (en dimension deux ce minimum devient égal à zéro). Le signe de la torsion a permis, de caractériser son attractivité et, de discriminer la partie attractive de la partie répulsive de la variété lente et de statuer sur la stabilité de ces courbes trajectoires. Ainsi, la présence dans l'espace des phases d'une variété lente attractive qui contraint les courbes trajectoires, intégrales du système dynamique à visiter son voisinage permet d'étudier la structure de l'attracteur. Cette approche basée sur certains aspects du formalisme de la Mécanique du Point et de la Géométrie Différentielle et qui s'est accompagnée de l'élaboration de programmes numériques a permis de constituer un nouvel outil d'investigation des systèmes dynamiques chaotiques. Son application à des modèles de référence comme celui de B. Van der Pol, de L. O. Chua ou d'E. N. Lorenz a permis d'obtenir plus directement et avec précision l'équation analytique de leur variété lente. De plus, une étude détaillée des modèles de type prédateur-proie comme celui de Rosenzweig-MacArthur ou d'Hastings-Powell, a conduit d'une part à la détermination de leur variété lente et d'autre part à la conception d'un nouveau modèle de type prédateur-proie à trois espèces appelé Volterra-Gause dont l'attracteur chaotique a la forme d'un escargot (chaotic snail shell)
This work aims to study the stability of chaotic dynamical systems starting from the geometrical structure of their attractors of which a part is based on a manifold called slow manifold. To this end, a new approach based on certain aspects of the formalism of Mechanics and Differential Geometry was developed and led to a geometrical and kinematics interpretation of the evolution of the trajectory curves, integrals of these dynamical systems in the vicinity of the slow manifold, and allowed to study their stability. Mechanics allowed, with the use of the velocity and instantaneous acceleration vectors, located on a point of the trajectory curve, to discriminate the slow domain from the fast domain and to locate the position of the slow manifold inside the phase space. Certain notions of Differential Geometry like the expressions of curvature, torsion and that of the osculating plane provided an analytical equation of the slow manifold independent of the slow eigenvectors of the tangent linear system, therefore defined on a greater domain of the phase space. The slow manifold was then considered as the location of the points where the curvature of the trajectory curves, integrals of these dynamical systems, is minimal (in dimension two this minimum becomes equal to zero). The sign of torsion allowed: to characterize its attractivity, to discriminate the attractive part from the repulsive part of the slow manifold and, to rule on the stability of these trajectory curves. Thus, the presence in the phase space of an attractive slow manifold compelling the trajectory curve, integrals of the dynamic system to visit its vicinity allowed analyzing the attractor structure. This approach based on certain aspects of the formalism of Mechanics and Differential Geometry and which was accompanied by the development of numerical programs made it possible to constitute a new tool for investigation of chaotic dynamical systems. Its application to models of reference like that of B. Van der Pol. , L. O. Chua or of E. N. Lorenz allowed obtaining more directly and with precision the analytical equation of their slow manifold. Moreover, a detailed study of the predator-prey models like that of Rosenzweig-MacArthur or Hastings-Powell, led on the one hand to the determination of their slow manifold and on the other hand to the design of a new three-dimensional model of predator-prey type: theVolterra-Gause model of which chaotic attractor has the shape of a snailshell (chaotic snail shell)

Dans cette thèse, on étudie deux paradigmes du chaos quantique: celui des symplectomorphismes linéaires du tore et celui du flot géodésique sur une variété riemannienne compacte. Dans les deux cas, on étudie le problème d'ergodicité quantique associé. Les résultats obtenus sont de deux sortes. D'une part, on obtient des bornes inférieures sur l'entropie des mesures semi-classiques en dimension 2. D'autre part, on obtient des résultats de type grandes déviations semi-classiques en toute dimension.

Le travail porte sur la synthèse et la cryptanalyse des schémas de chiffrement basés sur le chaos. Ces schémas utilisent, côté émetteur, des systèmes dynamiques non linéaires exhibant un comportement chaotique. La séquence complexe ainsi produite est utilisée pour masquer une information. Plusieurs modes de chiffrement sont étudiés : la modulation chaotique, la modulation paramétrique et le chiffrement par inclusion, principalement dans le cas des systèmes chaotiques à temps discret. Pour ces schémas, la reconstruction de l'information nécessite la synchronisation de l'émetteur et du récepteur. Un observateur joue le rôle du récepteur.

Tout d'abord, le lien entre le chiffrement par le chaos et le chiffrement usuel est établi.

Concernant la modulation chaotique, nous proposons, pour le déchiffrement, une méthode systématique de synthèse d'observateur polytopique, tenant compte de la spécificité du problème liée au chaos. Dans la modulation paramétrique, côté émetteur, l'information claire module les paramètres d'un système chaotique. Pour réaliser la synchronisation, un observateur adaptatif polytopique assurant la reconstruction simultanée état/paramètre est proposé.

Enfin, la cryptanalyse du chiffrement par inclusion est effectuée. Nous considérons des systèmes présentant uniquement des non linéarités polynomiales qui englobent un grand nombre de systèmes chaotiques usuels. La sécurité de ce schéma repose sur les paramètres du système chaotique, supposés jouer le rôle de clé secrète. Un formalisme général, basé sur le concept de l'identifiabilité, est élaboré pour tester la reconstructibilité de ces paramètres. Les différentes définitions de l'identifiabilité sont récapitulées et des approches permettant de tester l'identifiabilité sont présentées. Ce formalisme est appliqué sur des schémas usuels de chiffrement par inclusion afin de tester leur sécurité.

Dans cette thèse, on étudie deux paradigmes du chaos quantique: celui des symplectomorphismes linéaires du tore et celui du flot géodésique sur une variété riemannienne compacte. Dans les deux cas, on étudie le problème d'ergodicité quantique associé. Les résultats obtenus sont de deux sortes. D'une part, on obtient des bornes inférieures sur l'entropie des mesures semi-classiques en dimension 2. D'autre part, on obtient des résultats de type grandes déviations semi-classiques en toute dimension

Nous traitons d'abord de l'estimation non-paramétrique de la densité marginale pour des processus stationnaires approximables et pour des processus stationnaires dont la fonction d'autocovariance vérifie diverses propriétés de régularité. Nous abordons ensuite la question de l'estimation de la transformation associée à un processus dynamique approwximable et stationnaire. Les résultats obtenus sont appliqués à diverses familles de processus stochastiques et sont utilisés dans le cadre de l'estimation de la transformation itérée, de la densité invariante et de la densité observable pour des systèmes dynamiques chaotiques. Enfin, nous traitons de l'estimation de l'exposant de Lyapunov pour une famile très générale de systèmes dynamiques de l'intervalle unité
We first deal with nonparametric marginal density estimation for stationary approximable processes and for stationary processes with regular autocovariances. We then tackle the problem of estimating the map associated with a stationary approximable dynamical process. We apply our results to various classes of stochastic processes and we use them in dealing with iterated map estimation and invariant and observable density estimation for chaotic dynamical systems. Finally, we deal with Lyapunov exponent estimation for a general class of one-dimensional dynamical systems

Ce travail a pour objet l'étude des systèmes dynamiques quantiques dont la limite classique est chaotique, et en particulier de leurs états liés. Nous nous restreignons à des systèmes unidimensionnels. Les états quantiques sont représentés par des densités de probabilité dans l' espace des phases (densités de Husimi), afin de les comparer, dans la limite semi-classique, aux mesures invariantes classiques. De façon duale, tout état quantique peut être reconstruit à partir de la constellation formée par les zéros de sa densité de Husimi. Nous amorçons l' étude par un système hamiltonien intégrable présentant un point fixe instable. Une approximation WKB uniforme près de l'énergie critique fournit une description semi-classique précise des états propres: tandis que leurs densités de Husimi se concentrent sur la séparatrice, les constellations de zéros s'alignent le long de lignes d'anti-Stokes, également de nature classique. Nous considérons ensuite des transformations canoniques hyperholiques sur un espace des phases compact (le tore), qui sont très chaotiques, et qu'on sait quantifier: ce sont les applications du chat d'Arnold et du boulanger. Le caractère arithmétique des premières permet de construire des familles états très particuliers, appelés états cristallins en raison de la forme de leurs constellations. Plus généralement, on montre que les états propres de ces systèmes sont bien modélisés, en moyenne, par des états aléatoires gaussiens: leurs densités de Husimi, ainsi que leurs constellations, sont semi-classiquement équidistribuées sur le tore, mais présentent néanmoins des fluctuations quantiques universelles. À l'opposé, il semble que les caractéristiques spécifiques à un état propre individuel (par exemple une cicatrice sur un point périodique classique) soient codées de façon robuste par les premiers coefficients de Fourier de sa constellation.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la topologie d'attracteurs chaotiques solutions de systèmes dissipatifs d'équations différentielles. Dans la première partie, nous avons proposé une procédure systématique de construction des gabarits décrivant la topologie des attracteurs bornés par un tore de genre un ou plus, dans le cas où les trous sont alignés ; celle-ci est opérationnelle pour des attracteurs pourvus de propriétés de symétrie ou non. Nous avons ainsi construit les gabarits réduits de plusieurs attracteurs : le gabarit est alors constitué d'au moins un mixeur défini à l'aide d'une matrice d'enlacement. Notamment lorsque le tore bornant est de genre supérieur à un, les gabarits directs se présentent comme une suite ordonnée de mixeurs et d'enlaceurs associés à des torsions globales permettant de mettre clairement en avant les propriétés de symétrie des attracteurs. La seconde partie de cette thèse est consacrée à la manipulation algébrique des matrices d'enlacement décrivant les mixeurs et les enlaceurs. Nous avons ainsi défini la concaténation d'une torsion globale avec un mixeur (loi additive) et la concaténation de deux mixeurs (loi multiplicative). A l'aide de ces lois de compositions algébriques des mixeurs et enlaceurs, nous avons montré que plusieurs gabarits réduits - topologiquement équivalents - pouvaient décrire un même attracteur. Nous avons ensuite défini la notion de mécanisme élémentaire pour les mixeurs fermés. En concaténant les mixeurs élémentaires, nous avons conjecturé qu'il était possible d'obtenir tous les mécanismes élémentaires par récurrence et concaténation. Cette liste de mixeurs élémentaires en fonction du nombre de bandes est une base de connaissances nécessaire à la description et à la comparaison de gabarits d'attracteurs bornés par un tore de genre 1 sans déchirement du flot
In this Ph. D. Thesis, we characterize the ropology of chaotic attractors solution to set of differential equations. The first part is devoted to a systematic procedure to construct template for describing the topology of chaotic attractors bounded by torus with a genus-one or higher-genus, in the case wher the holes are aligned ; this procedure is valid for attractor with symmetry properties or not. We thus constructed reduced templates of many chaotic attractors : template is thus made of at least one mixer defined by a linking matrix. In particular, when the bounding torus has a genus greater than one, direct templates can be viewed as a series of mixers and linkers associated with global torsion allowing t clearly evidencing symmetry properties of attractors. The second part of this Ph. D. Thesis is devoted to the algebraic manipulation of linking matrices describing mixers as well as linkers. We thus defined the concatenation of a global torsion with a mixer (additive law) and the concatenation of two mixers (multiplicative law). Using these laws for combining mixers and linkers, we showed that many reduced - topologically equivalent - templates can describe a single attractor. We then defined the notion of an elementary mechanism for closed mixers. By concatenating elementary mixers, we conjectured that it was possible to obtain all elementary mechanisms by recurrence and concatenation. This list of elementary mixers depending on the number of branches could be a basis of required knowledge to describe and compare template of attractors bounded by genus-1 torus withoutt any tearing

Ce mémoire porte sur les systèmes dynamiques autonomes lents-rapides. Nous les définissons initialement comme étant modélisés par des systèmes d'équations différentielles qui comportent un petit paramètre en facteur d'une composante de la vitesse. Pour étudier leurs solutions, dont certaines sont chaotiques, nous proposons une méthode d'analyse mathématique basée sur un raisonnement itératif qui permet d'aboutir, sous certaines conditions, à une équation analytique de la variété lente (V. L. ). Cette équation est obtenue en considérant que la V. L. Est l'enveloppe des pians localement orthogonaux au vecteur propre dit rapide à gauche du système tangent. Ce critère ne peut s'appliquer rigoureusement que dans les zones où la partie non linéaire du développement au premier ordre des équations n'altère pas le caractère attractif de la variété. On peul également obtenir l'équation de la V. L. En écrivant qu'elle est localement engendrée par les vecteurs propres ients. La méthode permet de caractériser géométriquement l'attracteur, et ou\re la voie à une analyse qualitative globale de sa dynamique. Les résultats sont illustrés par les études du modèle de Van der Pol. Et de l'oscillateur électronique chaotique de Chua « cubique » et de Chua. Nous avons ensuite étendu cette méthode à une classe plus large de systèmes ne comportant pas de petit paramètre, mais dont le système tangent possède une valeur propre réelle négative dans un domaine de l'espace des phases. Ainsi, la méthode a été appliquée au modèle de Lorenz pour obtenir l'équation de la variété lente associée. Ce résultat nous a permis d'établir une comparaison avec le modèle de Chua d'un point de vue qualitatif. Enfin, la méthode a été utilisée pour établir l'équation de la V. L. De modèles lents-rapides issus de l'optique non linéaire, comme l'oscillateur paramétrique optique, et de modèles de laser dont le modèle de Lorenz-Haken
In this work we deal with slow-fast autonomous dynamical systems. We initially define them as being modeled by differential equations systems having a small parameter muitiplying one of their velocity components. In order to analyze their solutions, which some are chaotic, we propose a mathematical analytic method based on an iterative approach. Under some conditions, this method allows us to give an analytic equation of the slow manifold (S. M. ). This equation is obtained by considering that the S. M. Is given by the plan locally orthogonal to the tangent system's left fast eigenvector. This result can be applied as long as the influence of the nonlinear terms of the velocity is lower than the fast component, fn this case, the behavior is the same as the so-called linear tangent system and the S. M. Remains attractive in spite of the nonlinear part of the velocity. It is also possible to compute the S. M. Equation by using the tangent system's slow eigenvectors. The method allows us to give a geometrical characterization of the attractor and a global qualitative description of its dynamics. The results are applied to the Van der Pol model, Chua's cubic model and Chua's model. The method used to compute the equation of the S. M. Has been extended to systems having a real and negative eigenvalue in a large domain of the phase space, as it is the case with Lorenz system. Indeed, we give the Lorenz S. M. Equation and this allows us to make a qualitative study comparing this model and Chua's model. Finally, we apply the results to give the S. M. Equation of nonlinear optical slow-fast systems as the optical parametric oscillator model and the laser model of Lorenz-Haken