Academic literature on the topic 'Thiele’s differential equation'

Mestrado em Ciências Actuariais<br>Thorvald Nicolai Thiele foi um importante investigador dinamarquês. Entre os seus contributos, destaca-se em particular o facto de ter provado que para um seguro de vida inteira com benefício de valor 1, emitido sobre uma pessoa e pago imediatamente após a morte, as reservas prospetivas satisfazem uma equação diferencial linear: a chamada equação diferencial de Thiele. De um modo mais geral, as equações diferenciais de Thiele são um sistema diferencial linear de equações que descrevem a dinâmica das reservas nos seguros de vida e pensões em tempo contínuo. Este texto tem como principal objetivo rever de forma tão completa quanto possível as contribuições relacionadas com a equação de Thiele que foram surgindo ao longo do tempo, dando assim o presente estado de arte deste relevante tópico. Começando por fazer uma revisão breve do essencial da matemática atuarial avança depois para a derivação da equação de Thiele, considerando os dois modelos de mortalidade, o clássico e o de múltiplos estados, sobre uma pessoa e sobre várias pessoas. Algumas ilustrações, para vários tipos de contrato, são seguidamente introduzidas. Dos desenvolvimentos conhecidos, dá-se especial destaque às generalizações da equação diferencial que incluem um processo estocástico de pagamentos e um processo de difusão para a taxa de juro. Apresenta-se também o uso da equação como ferramenta para o desenvolvimento de produtos de seguro de vida e descreve-se uma generalização da equação diferencial para uma carteira fechada de seguros. A última parte do trabalho faz um resumo de outros contributos relacionados com a equação.<br>Thiele's differential equation has a long history, dating back to an unpublished note of Thiele, 1875. Thorvald Nicolai Thiele was a Danish researcher who worked as an actuary, astronomer, mathematician and statistician. He proved that for a whole life assurance of a single individual with benefit of amount 1, payable immediately on death, the prospective reserve satisfies a certain linear differential equation, which is extremely useful for the understanding of reality: Thiele's differential equation. In a more general framework, Thiele's differential equations for the prospective reserve are a linear system of differential equations describing the dynamics of reserves in life and pension insurance in continuous time. This text has the main purpose of reviewing in a comprehensive way the contributions related to Thiele's equation that appeared over time, presenting the status of the art on this important topic. A revision of life insurance mathematics is first and then Thiele?s differential equation is derived under the classical and multiple state model of human mortality for one life and for multiple lives After this, some illustrations are presented under different types of contracts. Following the developments in the literature, more general differential equations are obtained, including a stochastic payment process and a diffusion process for interest rate. The technique of using Thiele's differential equation as a tool for life insurance product development and the generalization of the equation for a closed insurance portfolio are also discussed. Finally, other developments are summarised.