Dissertations / Theses on the topic 'TQFTs'

Cette thèse est consacrée à l'étude des invariants quantiques en dimension 3 et 4 ainsi que les TQFTs et HQFTs qui leurs sont associées. Cette thèse établit que pour toute catégorie $\C$ sphérique la TQFT de Turaev-Viro est issue d'une HQFT en dimension 1+2 ayant pour but l'espace classifiant $B\grad$. Grâce aux méthodes développées pour montrer ce résultat, nous avons donné une nouvelle description l'invariant de Turaev-Viro homologique. En outre, nous introduisons la notion de catégorie de Picard qui nous permet de relier l'invariant de Turaev-Viro à l'invariant de Dijkgraaf-Witten. Nous construisons également un invariant quantique de dimension 4 que nous comparons à l'invariant quantique de dimension 4 défini par Crane, Kauffman et Yetter. Ce nouvel invariant est obtenu à partir de couples de catégories prémodulaires de dimensions inversibles.

Cette thèse est consacrée à l'étude des invariants quantiques en dimension 3 et 4 ainsi que les TQFTs et HQFTs qui leurs sont associées. Cette thèse établit que pour toute catégorie $\C$ sphérique la TQFT de Turaev-Viro est issue d'une HQFT en dimension 1+2 ayant pour but l'espace classifiant $B\grad$. Grâce aux méthodes développées pour montrer ce résultat, nous avons donné une nouvelle description l'invariant de Turaev-Viro homologique. En outre, nous introduisons la notion de catégorie de Picard qui nous permet de relier l'invariant de Turaev-Viro à l'invariant de Dijkgraaf-Witten. Nous construisons également un invariant quantique de dimension 4 que nous comparons à l'invariant quantique de dimension 4 défini par Crane, Kauffman et Yetter. Ce nouvel invariant est obtenu à partir de couples de catégories prémodulaires de dimensions inversibles.

Doctor of Philosophy<br>Department of Mathematics<br>Louis Crane<br>In this thesis we explore the possibilities of obtaining Topological Quantum Field Theories using cobordisms with corners to break further down in the structure of manifolds of a given dimension. The algebraic data obtained is described in the language of higher category theory, more precisely in its cubical approach which we explore here as well. Interesting connections are proposed to some important objects in Physics: the representations of the Poincaré group. Finally we will describe in great details the topological tools needed to describe the categories of cobordisms with corners and give some conjectures on their nature.

La position centrale occupée par les Théories Quantiques des Champs Topologiques (TQFTs) dans l’étude de la topologie en basse dimension est due à leur structure extraordinairement riche, qui permet différentes interactions et applications à des questions de nature géométrique. Depuis leur première apparition, un grand effort a été mis dans l’extension des invariants quantiques de 3-variétés en TQFTs et en TQFT Étendues (ETQFTs). Cette thèse s’attaque à ce problème dans deux cadres généraux différents. Le premier est l’étude des invariants quantiques semi-simples de Witten, Reshetikhin et Turaev issus de catégories modulaires. Bien que les ETQFTs correspondantes étaient connues depuis un certain temps, une réalisation explicite basée sur la construction universelle de Blanchet, Habegger, Masbaum et Vogel apparaît ici pour la première fois. L’objectif est de tracer la route à suivre dans la deuxième partie de la thèse, où la même procédure est appliquée à une nouvelle famille d’invariants quantiques non semi-simples due à Costantino, Geer et Patureau. Ces invariants avaient déjà été étendus en TQFTs graduées par Blanchet, Costantino, Geer and Patureau, mais seulement pour une famille explicite d’exemples. Nous posons la première pierre en introduisant la définition de catégorie modulaire relative, un analogue non semi-simple aux catégories modulaires. Ensuite, nous affinons la construction universelle pour obtenir des ETQFTs graduées étendant à la fois les invariants quantiques de Costantino, Geer et Patureau et les TQFTs graduées de Blanchet, Costantino, Geer et Patureau dans ce cadre général<br>The central position held by Topological Quantum Field Theories (TQFTs) in the study of low dimensional topology is due to their extraordinarily rich structure, which allows for various interactions with and applications to questions of geometric nature. Ever since their first appearance, a great effort has been put into extending quantum invariants of 3-dimensional manifolds to TQFTs and Extended TQFTs (ETQFTs). This thesis tackles this problem in two different general frameworks. The first one is the study of the semisimple quantum invariants of Witten, Reshetikhin and Turaev issued from modular categories. Although the corresponding ETQFTs were known to exist for a while, an explicit realization based on the universal construction of Blanchet, Habegger, Masbaum and Vogel appears here for the first time. The aim is to set a golden standard for the second part of the thesis, where the same procedure is applied to a new family of non-semisimple quantum invariants due to Costantino, Geer and Patureau. These invariants had been previously extended to graded TQFTs by Blanchet, Costantino, Geer an Patureau, but only for an explicit family of examples. We lay the first stone by introducing the definition of relative modular category, a non-semisimple analogue to modular categories. Then, we refine the universal construction to obtain graded ETQFTs extending both the quantum invariants of Costantino, Geer and Patureau and the graded TQFTs of Blanchet, Costantino, Geer and Patureau in this general setting

Soit p∈ℕ*. On définit une famille d'idempotents (et de nilpotents) des algèbres de Temperley-Lieb aux racines 4p-ième de l'unité qui généralise les idempotents de Jones-Wenzl usuels. Ces nouveaux idempotents sont associés aux représentations simples et indécomposables projectives de dimension finie du groupe quantique restreint U¯_{q}sl(2), où q est une racine 2p-ième de l'unité. A l'instar de la théorie des champs quantique topologique (TQFT) de [BHMV95], ils fournissent une base canonique de classes d'écheveaux coloriés pour définir des représentations des groupes de difféotopie des surfaces. Dans le cas du tore, cette base nous permet d'obtenir une correspondance partielle entre les actions de la vrille négative et du bouclage, et la représentation de SL₂(ℤ) de [LM94] induite sur le centre de U¯_{q}sl(2), qui étend non trivialement de la représentation de SL₂(ℤ) obtenue par la TQFT de [RT91]<br>Let p in N^*. We define a family of idempotents (and nilpotents) in the Temperley-Lieb algebras at 4p-th roots of unity which generalizes the usual Jones-Wenzl idempotents. These new idempotents correspond to finite dimentional simple and projective indecomposable representations of the restricted quantum group U¯_{q}sl(2), where q is a 2p-th root of unity. In the manner of the [BHMV95] topological quantum field theorie (TQFT), they provide a canonical basis in colored skein modules to define mapping class groups representations. In the torus case, this basis allows us to obtain a partial match between the negative twist and the buckling actions, and the [LM94] induced representation of SL₂(ℤ) on the center of U¯_{q}sl(2), which extends non trivially the [RT91] representation of SL₂(ℤ)

There is a well-known correspondence between two-dimensional topological quantum field theories (2-D TQFTs) and commutative Frobenius algebras. Every 2-D TQFT also gives rise to a diffeomorphism invariant of closed, orientable two-manifolds, which may be investigated via the associated commutative Frobenius algebras. We investigate which such diffeomorphism invariants may arise from TQFTs, and in the process uncover a distinction between two fundamentally different types of commutative Frobenius algebras ("weak" Frobenius algebras and "strong" Frobenius algebras). These diffeomorphism invariants form the starting point for our investigation into marked cobordism categories, which generalize the local cobordism relations developed by Dror Bar-Natan during his investigation of Khovanov's link homology. We subsequently examine the particular class of 2-D TQFTs known as "universal sl(n) TQFTs". These TQFTs are at the algebraic core of the link invariants known as sl(n) link homology theories, as they provide the algebraic structure underlying the boundary maps in those homology theories. We also examine the 3-manifold diffeomorphism invariants known as skein modules, which were first introduced by Marta Asaeda and Charles Frohman. These 3-manifold invariants adapt Bar-Natan's marked cobordism category (as induced by a specific 2-D TQFT) to embedded surfaces, and measure which such surfaces may be embedded within in 3-manifold (modulo Bar-Natan's local cobordism relations). Our final results help to characterize the structure of such skein modules induced by universal sl(n) TQFTs.

Witten, Reshetikhin et Turaev ont défini des invariants des variétés topologiques de dimension 3, dits "quantiques" qui s'étendent en une structure de TQFT, c'est-à-dire un foncteur monoïdal d'une catégorie de cobordismes vers la catégorie des espaces vectoriels complexes. Nous étudions ici leur asymptotique. Dans ce cadre, les courbes sur une surface induisent des endomorphismes des espaces de TQFT, appelés opérateurs courbes, qui sont l'un des objets centraux du mémoire. Tous ces invariants dépendant d'un paramètre entier r, on s'intéresse à leur comportement quand r tend vers l'infini. On s'aperçoit alors que les invariants quantiques sont liés à des objets plus géométriques, comme les espaces des modules des représentations dans SU2 du groupe fondamental d'une surface. La première partie de la thèse introduit la notion de TQFT et les invariants de Witten-Reshetikhin-Turaev, puis donne des rudiments de géométrie de l'espace des modules SU2 d'une surface et de quantification géométrique. La deuxième partie présente un résultat sur l'asymptotique des coefficients de matrices des opérateurs courbes en TQFT. A partir de calcul d'écheveau et d'un théorème de Bullock, on relie les deux premiers termes de leur développement aux fonctions traces associées aux multicourbes. Cette thèse aboutit dans la troisième partie à un résultat asymptotique pour les coefficients de matrices des représentations quantiques. Un modèle géométrique est proposé pour les espaces de TQFT associés aux surfaces, et il est montré que les opérateurs courbes s'identifient alors à des opérateurs de Toeplitz. Des méthodes standards d'analyse semi-classiques permettent d'en déduire le résultat<br>In this thesis we study the asymptotics of some invariants of 3-manifolds, known as "quantum invariants" which were defined by Witten, Reshetikhin and Turaev. These invariants are part of a TQFT structure, that is a monoidal functor for a category of cobordism to the category of complex vector spaces. In this setting, curves on surfaces induce endomorphisms of TQFT vector spaces, called curve operators, which are one of the main object in our study. All these invariants depend of an integer parameter r, and we are interested in their behavior when r tends to infinity. We can then see that quantum invariants are related to more geometric objects, like the moduli space of conjugacy classes of SU2 representations of the fundamental group of a surface. The thesis is divided in 3 parts: in the first one we introduce the notion of TQFT and the Witten-Reshetikhin-Turaev invariants, then we give basic properties of the SU2-moduli spaces and explain the general approach of geometric quantification. In the second one we present a result on the asymptotics of matrix coefficients of curve operators. Using skein calculus and a theorem of Bullock, we express the first two terms of their expansion in terms of trace functions on the SU2-moduli space associated to multicurves. The final part gives an asymptotic expansion of matrix coefficents of quantum representations. A geometric model for TQFT vector spaces is defined, and we show that curve operators can be seen as Toeplitz operators in this model. Standard tools of semi-classical analysis allow us to deduce the result from this

Cette thèse est un travail autour de certains aspects d'un problème fondamental de la topologie quantique: "le lien entre les invariant quantiques des variétés de dimension 3 et la géométrie de ces variétés". On explore ce lien en étudiant certaines asymptotiques pour une famille de théories quantiques des champs topologiques (TQFT) en dimension 2+1. Ces TQFT sont construites de façon combinatoire en utilisant le crochet de Kauffman. On donne un sens à la limite des multicourbes et des corps en anses dans ces TQFT et on interprète ces limites de façon géométrique. En conséquence on obtient une limite pour les représentations quantiques des "mapping class groups" au sens de la topologie de Fell. Elle est composée de deux chapitres rédigés en anglais qui sont dans une large mesure autonomes. Ce travail a été fait en collaboration avec Julien Marché. Le premier chapitre est un article à paraître dans Duke Mathematical Journal<br>This is a work around a fundamental problem of quantum topology: relating quantum invarinats of 3-manifolds to their geometrie properties. We study some asymptotics for a familly of topological quantum field theory (TQFT) in dimension 2-1-1. These TQFTs are constructed in a purely combinatorial way using skein theory and Kauffman bracket. We define and study the limits of the multicurves and handlebodies in these TQFTs and interpret these limits in a geometrie way. As a corollary we obtain a limit for the quantum représentations of mapping class groups in the Fell topology and give a new and simple proof for the asymptotic faithfulness of these representations. These results are presented in two chapters which constitutes the thesis. This work has been done in collaboration with Julien Marche. The first chapter will be published in Duke Mathematical Journal

Cette thèse porte sur l'étude de certaines familles de représentations projectives des groupes modulaires de surfaces issues de théories topologiques quantiques de champs. Les résultats principaux portent sur leur décomposition en facteurs irréductibles<br>This thesis deals with some families of projective representations of the mapping class groups of surfaces arising in topological quantum field theories. The main results concern their decomposition into irreducible factors

We discuss a method of classifying 2-dimensional invertible topological quantum field theories (TQFTs) whose domain surface categories allow non-orientable cobordisms. These are known as Klein TQFTs. To this end we study the 1+1 dimensional open-closed unoriented cobordism category K, whose objects are compact 1-manifolds and whose morphisms are compact (not necessarily orientable) cobordisms up to homeomorphism. We are able to compute the fundamental group of its classifying space BK and, by way of this result, derive an infinite loop splitting of BK, a classification of functors K → Z, and a classification of 2-dimensional open-closed invertible Klein TQFTs. Analogous results are obtained for the two subcategories of K whose objects are closed or have boundary respectively, including classifications of both closed and open invertible Klein TQFTs. The results obtained throughout the paper are generalisations of previous results by Tillmann [Til96] and Douglas [Dou00] regarding the 1+1 dimensional closed and open-closed oriented cobordism categories. Finally we consider how our results should be interpreted in terms of the known classification of 2-dimensional TQFTs in terms of Frobenius algebras.

This thesis is devoted to the study of gauged linear sigma models (GLSMs) and mirror symmetry. The first chapter of this thesis aims to introduce some basics of GLSMs and mirror symmetry. The second chapter contains the author's contributions to new exact results for GLSMs obtained by applying supersymmetric localization. The first part of that chapter concerns supermanifolds. We use supersymmetric localization to show that A-twisted GLSM correlation functions for certain supermanifolds are equivalent to corresponding Atwisted GLSM correlation functions for hypersurfaces. The second part of that chapter defines associated Cartan theories for non-abelian GLSMs by studying partition functions as well as elliptic genera. The third part of that chapter focuses on N=(0,2) GLSMs. For those deformed from N=(2,2) GLSMs, we consider A/2-twisted theories and formulate the genuszero correlation functions in terms of Jeffrey-Kirwan-Grothendieck residues on Coulomb branches, which generalize the Jeffrey-Kirwan residue prescription relevant for the N=(2,2) locus. We reproduce known results for abelian GLSMs, and can systematically calculate more examples with new formulas that render the quantum sheaf cohomology relations and other properties manifest. We also include unpublished results for counting deformation parameters. The third chapter is about mirror symmetry. In the first part of the third chapter, we propose an extension of the Hori-Vafa mirrror construction [25] from abelian (2,2) GLSMs they considered to non-abelian (2,2) GLSMs with connected gauge groups, a potential solution to an old problem. We formally show that topological correlation functions of B-twisted mirror LGs match those of A-twisted gauge theories. In this thesis, we study two examples, Grassmannians and two-step flag manifolds, verifying in each case that the mirror correctly reproduces details ranging from the number of vacua and correlations functions to quantum cohomology relations. In the last part of the third chapter, we propose an extension of the Hori-Vafa construction [25] of (2,2) GLSM mirrors to (0,2) theories obtained from (2,2) theories by special tangent bundle deformations. Our ansatz can systematically produce the (0,2) mirrors of toric varieties and the results are consistent with existing examples which were produced by laborious guesswork. The last chapter briefly discusses some directions that the author would like to pursue in the future.<br>Doctor of Philosophy<br>In this thesis, I summarize my work on gauged linear sigma models (GLSMs) and mirror symmetry. We begin by using supersymmetric localization to show that A-twisted GLSM correlation functions for certain supermanifolds are equivalent to corresponding A-twisted GLSM correlation functions for hypersurfaces. We also define associated Cartan theories for non-abelian GLSMs. We then consider N =(0,2) GLSMs. For those deformed from N =(2,2) GLSMs, we consider A/2-twisted theories and formulate the genus-zero correlation functions on Coulomb branches. We reproduce known results for abelian GLSMs, and can systematically compute more examples with new formulas that render the quantum sheaf cohomology relations and other properties are manifest. We also include unpublished results for counting deformation parameters. We then turn to mirror symmetry, a duality between seemingly-different two-dimensional quantum field theories. We propose an extension of the Hori-Vafa mirror construction [25] from abelian (2,2) GLSMs to non-abelian (2,2) GLSMs with connected gauge groups, a potential solution to an old problem. In this thesis, we study two examples, Grassmannians and two-step flag manifolds, verifying in each case that the mirror correctly reproduces details ranging from the number of vacua and correlations functions to quantum cohomology relations. We then propose an extension of the HoriVafa construction [25] of (2,2) GLSM mirrors to (0,2) theories obtained from (2,2) theories by special tangent bundle deformations. Our ansatz can systematically produce the (0,2) mirrors of toric varieties and the results are consistent with existing examples. We conclude with a discussion of directions that we would like to pursue in the future.

Ce travail de thèse se concentre sur l'approche non-perturbative canonique à la formulation d'une théorie quantique de la gravitation dans le cadre de la Gravitation quantique à boucles (LQG), répondant à deux problèmes majeurs. Dans la première partie, nous étudions la possible quantification, dans le cadre de la LQG, de la gravité en trois dimensions avec constante cosmologique et nous essayons de prendre contact avec autres approches de quantification déjà existantes dans la littérature. Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur une application très importante de la LQG: la définition et le comptage des états microscopiques d'un ensemble en mécanique statistique qui fournit une description de l'entropie des trous noirs. Notre analyse s'appuie fortement sur et s'étend à un traitement manifestement SU(2) invariant les travaux fondateurs de Ashtekar et al<br>This thesis work concentrates on the non-perturbative canonical approach to the formulation of a quantum theory of gravity in the framework of Loop Quantum Gravity (LQG), addressing two major problems. In the first part, we investigate the possible quantization, in the context of LQG, of three dimensional gravity in the case of non-vanishing cosmological constant and try to make contact with alternative quantization approaches already existing in the literature. In the second part, we concentrate on a very important application of LQG: the definition and the counting of microstates of a statistical mechanical ensemble which provides a description and accounts for the black hole entropy. Our analysis strongly relies on and extends to a manifestly SU(2) invariant treatment the seminal work of Ashtekar et al

Une théorie des champs quantique topologique (TQFT) en dimension 3 est un foncteur monoidal symétrique de la catégorie des cobordismes de dimension 3 vers celle des espaces vectoriels. Une TQFT fournit en particulier un invariant scalaire des variétés fermées de dimension 3 ainsi que des représentations du groupe de difféotopie des surfaces fermées.Turaev explique en 1994 comment construire à partir d'une catégorie modulaire une TQFT qui étend l'invariant scalaire de 3-variétés fermées introduit en 1991 par Reshetikhin et Turaev. Dans cette thèse, nous généralisons cette construction à l'aide d'une catégorie C en ruban avec coend. On représente un cobordisme par un enchevêtrement d'un type particulier (enchevêtrement de cobordisme) et on associe à celui-ci un morphisme défini entre puissances tensorielles de la coend comme décrit par Lyubashenko en 1995. A l'aide de l'extension du calcul de Kirby aux cobordismes de dimension 3, cette construction nous permet de produire un invariant de cobordismes puis une TQFT à valeurs dans la sous-catégorie monoïdale symétrique des objets transparents de C.Dans le cas où C est une catégorie modulaire, cette sous-catégorie s'identifie à celle des espaces vectoriels et on retrouve ainsi la TQFT de Turaev. Dans le cas où C est une catégorie prémodulaire modularisable, notre TQFT est un relèvement de la TQFT de Turaev associée à la modularisée de C<br>A 3-dimensional topological quantum field theory (TQFT) is a symmetric monoidal functor from the category of 3-cobordisms to the category of vector spaces. Such TQFTs provide in particular numerical invariants of closed 3-manifolds and representations of the mapping class group of closed surfaces.In 1994, Turaev explains how to construct a TQFT from a modular category; the scalar invariant is then the Reshethikhin-Turaev invariant introduced in 1991. In this thesis, we describe a generalization of this construction starting from a ribbon category C with coend. We present a cobordism by a certain type of tangle (cobordism tangle) and we associate to such a tangle a morphism between tensor products of the coend as described by Lyubashenko in 1994. Extending the Kirby calculus to 3-cobordisms, we obtain in this way an invariant of cobordisms and a TQFT which takes values in the symmetric monoidal subcategory of transparent objects of C. If the category C is modular, this subcategory can be identified with the category of vector spaces, and we recover Turaev's TQFT. If the category C is modularizable, our TQFT is a lift of the Turaev TQFT for the modularization of C

On considère les représentations quantiques des mapping class groups venant de la SU(2) et SO(3) TQFT de Witten-Reshetikin-Turaev. La motivation de cette étude est la conjecture AMU formulée par Andersen, Masbaum et Ueno. Nous explorerons deux cas intéressants : Le tore troué en théorie SO(3) où nous montrerons comment résoudre la conjecture AMU. Les sphères trouées en théorie SU(2) où nous étudierons certains espaces skein qui apparaissent comme noyau de l'application naturelle du skein module vers la TQFT. Nous verrons comment cette stratégie apporte des réponses partielles pour la conjecture AMU dans le cas des sphères munies de 2n points coloriés par un entier N plus grand que 1. Enfin nous verrons comment la stratégie précédente permet de résoudre complètement la conjecture AMU pour la sphère munie de 4 points coloriés par N plus grand que 2. Cela étend les travaux initiaux de Andersen, Masbaum et Ueno lorsque N vaut 1<br>We consider quantum representations of mapping class groups arising from SU(2) and SO(3) Witten-Reshetikin-Turaev TQFT. The motivation of this study is the AMU conjecture stated by Andersen Masbaum and Ueno. We explore two interesting cases : The punctured torus in the SO(3) theory. We will see how to prove the AMU conjecture in this case. Punctured spheres in the SU(2) theory. We study certain skein spaces which are kernels of the natural map from the skein module to the TQFT. We will see how this strategy gives partial answers to the AMU conjecture in the case of the sphere equipped with 2n points all colored by N. Using the previous strategy we will prove the AMU conjecture completely for the sphere equipped with 4 points all colored by N greater than 2. It will extend the result found by Andersen Masbaum and Ueno when N equals 1

Ce texte étudie le groupe quantique Uξ sl(2|1) associé à la superalgèbre de Lie sl(2|1) et une catégorie de ses représentations de dimension finie. L'objectif est de construire des invariants topologiques de 3-variétés en utilisant la notion de trace modifiée. D'abord nous prouvons que la H catégorie CH des modules de poids nilpotents sur Uξ sl(2|1) est enrubannée et qu'il existe une trace modifiée sur son idéal des modules projectifs. De plus CH possède une structure relativement G-prémodulaire ce qui est une condition suffisante pour construire un invariant de 3-variétés à la Costantino-Geer-Patureau. Cet invariant est le cœur d'une 1+1+1-TQFT (Topological Quantum Field Theory). D'autre part Hennings a proposé à partir d'une algèbre de Hopf de dimension finie une construction d’invariants qui dispense de considérer la catégorie de H l l ses représentations. Nous montrons que le groupe quantique déroulé Uξ sl(2|1)/(e1 , f1 ) possède une complétion qui est une algèbre de Hopf enrubannée topologique. Nous construisons un invariant de 3-variétés à la Hennings en utilisant cette structure algébrique, une transformation de Fourier discrète et la notion de G-intégrales. L'intégrale dans une algèbre de Hopf est centrale dans la construction de Hennings. La notion de trace modifiée dans une catégorie s'est récemment révélée être une généralisation des intégrales dans les algèbres de Hopf de dimension finie. Dans un contexte plus général d'algèbre de Hopf de dimension infinie nous prouvons la relation formulée entre la trace modifiée et la G -intégrale<br>This text studies the quantum group Uξ sl(2|1) associated with the Lie superalgebra sl(2|1) and a category of finite dimensional representations. The aim is to construct the topological invariants of 3-manifolds using the notion of modified trace. We first prove that the category CH of the nilpotent weight modules over Uξ sl(2|1) is ribbon and that there exists a modified trace on its ideal of projective modules. Furthermore, CH possesses a relative G-premodular structure which is a sufficient condition to construct an invariant of 3-manifolds of Costantino-Geer-Patureau type. This invariant is the heart of a 1+1+1-TQFT (Topological Quantum Field Theory). Next Hennings proposed from a finite dimensional Hopf algebra, a construction of invariants which does not require to consider the category of its representations. We show that the unrolled H l l quantum group Uξ sl(2|1)/(e1 , f1 ) has a completion which is a topological ribbon Hopf algebra. We construct an invariant of 3-manifolds of Hennings type using this algebraic structure, a discrete Fourier transform, and the notion of G-integrals. The integral in a Hopf algebra is central in the construction of Hennings. The notion of modified trace in a category has recently been revealed to be a generalization of the integrals in a finite dimensional Hopf algebra. In a more general context of infinite dimensional Hopf algebras we prove the relation formulated between the modified trace and the G-integral

Invariants topologiques quantiques non semi-simples. La théorie des nœuds (courbes simples plongées dans R³, à déformation continue près) se développe au début du XXième siècle avec notamment les travaux d'Alexander et de Reidemeister. Elle a connu un tournant avec la topologie quantique née en 1984 par la découverte par Vaughan Jones d'une manière d'associer à chaque nœuds un polynôme. Vladimir Turaev et Nicolai Reshetikhin interprètent et généralisent ce procédé en terme de représentations des groupes quantiques. Aujourd'hui encore, la compréhension géométrique de ces invariants est ténue. Toujours dans les années 80, Edward Witten donne une interprètation physique du polynôme de Jones et suggère une généralisation aux variétés de dimension trois. Vladimir Turaev avec Nicolai Reshetikhin puis avec Oleg Viro réalise rigoureusement ces invariants nouveaux pour les variétés de dimension trois. Dans de nombreux cas, ces constructions s'avèrent triviales. Ceci est lié à la présence de représentations des groupes quantiques qui ne sont pas semi-simples. Mes travaux, en collaboration avec Nathan Geer, Vladimir Turaev, Francesco Costantino et Alexis Virelizier ont consisté, pour une grande part, à modifier les constructions précédentes pour définir des invariants non triviaux dans ce cadre non semi-simple. Ces travaux m'ont amené a développer, avec Nathan Geer et Jonathan Kujawa, des techniques algébriques qui présentent un intérêt propre en théorie des représentations. Relier les constructions de la topologie quantique et les invariants d'origine plus géométriques constitue un vrai challenge des mathématiques modernes pour lequel les invariants non semi-simples que j'ai définis offrent un point de vue prometteur.

Soit $p in N^*$. On définit une famille d'idempotents (et de nilpotents) des algèbres de Temperley-Lieb aux racines $4p$-ième de l'unité qui généralise les idempotents de Jones-Wenzl usuels. Ces nouveaux idempotents sont associés aux représentations simples et indécomposables projectives de dimension finie du groupe quantique restreint $Uq$, où $q$ est une racine $2p$-ième de l'unité. A l'instar de la théorie des champs quantique topologique (TQFT) de [BHMV95], ils fournissent une base canonique de classes d'écheveaux coloriés pour définir des représentations des groupes de difféotopie des surfaces. Dans le cas du tore, cette base nous permet d'obtenir une correspondance partielle entre les actions de la vrille négative et du bouclage, et la représentation de $SL_2(Z)$ de [LM94] induite sur le centre de $Uq$, qui étend non trivialement de la représentation de $SL_2(Z)$ obtenue par la TQFT de [RT91]<br>Let $p in N^*$. We define a family of idempotents (and nilpotents) in the Temperley-Lieb algebras at $4p$-th roots of unity which generalizes the usual Jones-Wenzl idempotents. These new idempotents correspond to finite dimentional simple and projective indecomposable representations of the restricted quantum group $Uq$, where $q$ is a $2p$-th root of unity. In the manner of the [BHMV95] topological quantum field theorie (TQFT), they provide a canonical basis in colored skein modules to define mapping class groups representations. In the torus case, this basis allows us to obtain a partial match between the negative twist and the buckling actions, and the [LM94] induced representation of $SL_2(Z)$ on the center of $Uq$, which extends non trivially the [RT91] representation of $SL_2(Z)$