Dissertations / Theses on the topic 'Valeurs limites (Mathématiques)'

Nous généraliserons tous les résultats des lois limites des k-iemes valeurs de record (k >ou= 1). Nous énoncerons deux résultats concernant la structure poissonienne des k-iemes valeurs de record. Nous étudierons en détail la stabilité en probabilité ; et nous énoncerons un résultat concernant les records issus d'une fonction de répartition normale. Nous utiliserons le processus de winner w(t) pour l'approximation forte des k-iemes valeurs de record. Une application du théorème de Komlos, Major et Tusnady donne un résultat concernant la stabilité forte. En second lieu, nous définissons les concomitants des k-iemes valeurs de record. Nous déterminerons la distribution générale des concomitants des k-iemes valeurs de record, dans le cas général, et dans le cas de la régression linéaire simple. Nous étudierons les lois limites des concomitants des k-iemes valeurs de record dans le modèle de la régression linéaire simple, et dans le cas général.

Dans cette thèse, nous établissons quelques théorèmes limites en théorie des valeurs extrêmes et en systèmes dynamiques. La thèse est composée de deux parties. Dans la première partie, nous nous intéressons au comportement du maximum d’une suite qui ne satisfait pas les hypothèses classiques de la théorie des valeurs extrêmes. La suite que nous considérons est générée par une marche aléatoire en milieu aléatoire. Nous établissons un résultat de convergence sur le processus ponctuel des excédents associé à la suite et calculons l’indice extrémal. Des propriétés de mélange de la suite sont également discutées.Dans la deuxième partie, nous étudions la convergence presque sûre de différents types de moyennes ergodiques avec poids (aléatoires et/ou déterministes), en développant une nouvelle technique pour donner des vitesses de convergence. Cette technique est basée sur des travaux de Móricz concernant l’étude de sommes de variables aléatoires. Elle nous permet d’établir des résultats sur la vitesse de convergence dans la loi forte des grandes nombres. Nous déduisons ensuite des propriétés de convergence ponctuelle de la transformée de Hilbert unilatérale pondérée
In this PhD thesis, we establish some limit theorems in Extreme Value Theory and on dynamical systems. This thesis is divided into two parts. The first one deals with extremes of a sequence which does not satisfy the classical properties appearing in Extreme Value Theory. The sequence is generated by a random walk in random scenery. We establish a limit theorem on the point process of exceedances and we make explicit the extremal index. Some mixing properties are also discussed. The second part of this thesis deals with almost sure convergence of various ergodic averages with weights (the weights can be random or deterministic) and is based on new techniques to provide rates of convergence. Our techniques are based on a work due to Móricz dealing with sums of random variables. The same technique allows us to establish results on the rates of convergence for the strong law of large numbers. Then we state several properties for the point convergence of weighted unilateral Hilbert transform

De nombreuses études de biométrologie sont menées à l’INRS, pour évaluer l’exposition professionnelle à des substances chimiques, en France, et pour compléter les connaissances en proposant des valeurs de références destinées à protéger des salariés exposés à ces substances. Ces études consistent à mesurer simultanément l’imprégnation biologique et l’exposition atmosphérique à une substance, chez des salariés exposés à celle-ci. La relation entre ces mesures biologiques et atmosphériques est ensuite estimée à travers un modèle de régression linéaire. Lorsque que cette relation existe et que la voie d’absorption du toxique est essentiellement inhalatoire, il est ensuite possible de dériver une Valeur Limite Biologique (VLB) à partir de la Valeur Limite d’Exposition Professionnelle (VLEP-8h) du toxique. Deux aspects de ces données ont été identifiés, qui ne sont pas ou seulement partiellement prises en compte dans les modélisations statistiques courantes : la censure due aux limites de détection (LD)/quantification (LQ) des mesures biologiques et atmosphériques et la variabilité inter-individuelle. Ignorer ces deux particularités lors de la modélisation mène à une perte de puissance statistique et à de potentielles conclusions biaisées. Les travaux menés dans le cadre de cette thèse ont permis d’adapter le modèle de régression à ces deux caractéristiques, dans un cadre bayésien. L’approche proposée repose sur la modélisation des mesures atmosphériques à l’aide de modèles à effets aléatoires prenant en compte les valeurs inférieures à la LD/LQ, et sur la modélisation simultanée des mesures biologiques, supposée être linéairement dépendantes sur une échelle logarithmique, de l'exposition atmosphérique, tout en tenant compte de la variabilité inter-individuelle. Ce travail a donné lieu à une publication scientifique dans une revue à comité de lecture. L’application de cette méthodologie a été réalisée sur des jeux d’exposition professionnelle au béryllium et au chrome, après avoir été cependant adaptée aux caractéristiques toxicocinétiques de ces deux substances. Il a ainsi été possible de proposer une VLB pour le béryllium (0,06 µg/g créatinine). L’exploitation de mesures de chrome dans deux secteurs d’activités différents (exposition professionnelle aux peintures de chromates, et exposition professionnelle dans le secteur du chromage électrolytique) a permis de mettre en évidence que le chrome urinaire dépend essentiellement de l’exposition au chrome VI, le chrome non VI ayant moins d’impact. Nous n’avons pas pu montrer de relation entre la solubilité du CrVI et le chrome urinaire. Une VLB de 0,41 µg/g créatinine, de l’ordre de la Valeur Biologique de Référence (VBR) proposée par l’ANSES (0,54 µg/g créatinine), a été estimée pour l’exposition professionnelle aux peintures de chromates, et une VLB de 1,85 µg/g créatinine a été estimée pour l’exposition professionnelle dans le secteur du chromage électrolytique, qui est en cohérence avec la VLB proposée par l’ANSES dans ce secteur, à savoir 1,8 µg/g créatinine
Many biomonitoring studies are conducted at INRS, in order to assess occupational exposure to chemicals in France, and to propose reference values to protect workers exposed to these substances. These studies consist in measuring simultaneously biological and airborne exposure of workers exposed to a toxic substance. The relationship between these biological and airborne measurements is then estimated through a linear regression model. When this relationship exists and the route of absorption of the toxic is essentially inhalatory, it is possible to derive a Biological Limit Value (BLV) from the Occupational Exposure Limit Value (OEL) of the toxic substance. However, two characteristics of these data have been identified, which are not or only partially taken into account in the current statistical modelling: the left-censoring due to limits of detection (LoD)/quantification (LoQ) of biological and airborne measurements, and the between-individual variability. Ignoring both of these features in modelling leads to a loss of statistical power and potentially biased conclusions. The work carried out in this thesis allowed us to adapt the regression model to these two characteristics, in a Bayesian framework. The proposed approach is based on the modelling of airborne measurements using random effects models adapted for values below the LoD / LoQ, and on the simultaneous modelling of biological measurements, assumed to depend linearly on a logarithmic scale, on the airborne exposure, while taking into account between-subject variability. This work resulted in a scientific publication in a peer-reviewed journal. This methodology has been applied on beryllium and chromium occupational exposure datasets, after adaptation to the toxicokinetic characteristics of these two substances. It has thus been possible to propose a BLV for beryllium (0.06 μg / g creatinine). The analysis of chromium measurements in two different sectors of activity (occupational exposure to chromate paints, and occupational exposure in the electroplating sector) made it possible to show that urinary chromium depends mainly on airborne exposure to VI chromium, non-VI chromium having less impact. We were not able to show a relationship between the solubility of airborne VI chromium and urinary chromium. A BLV of 0.41 μg / g creatinine, close to the Biological Guidance Value (BGV) proposed by ANSES (0.54 μg / g creatinine), was estimated for occupational exposure to chromate paints, and a BLV of 1.85 μg/g creatinine was obtained for occupational exposure in the electrolytic chromium plating sector, which is consistent with the ANSES proposed BLV in this sector, i-e 1.8 μg / g creatinine

Le but de cette thèse est l'étude d'un système d'équations différentielles non linéaires du second ordre à valeur propre. Ce problème modélise l'écoulement monodimensionnel d'une flamme laminaire se propageant dans un tube long On considère une réaction simple d'ordre n de type : REACTANT→ PRODUIT, et on permet à la flamme d'échanger de la chaleur avec les parois du tube. Dans la limite des nombres de Mach petits, le problème d'onde plane se réduit, après renormalisation à un système d'équations de réaction-diffusion: Déterminer la température du mélange u, la concentration du réactant v et 1'intensité des pertes thermiques h, solution du problème :-u"+cu'- v'ⁿf(u)-hg(u) u(-∞)=u(+∞)=O -Λv"+cv'=-vⁿf(u) v (-∞)=1; v'(+∞)=O. On analyse ensuite le comportement asymptotique des solutions lorsqu'un petit paramètre ɛ tend vers O. Enfin, on effectue une analyse de perturbation singulière rigoureuse, d'où l'on déduira une relation limite entre h et c
The aim of this thesis is to study a system of two eigenvalue nonlinear differential equations. This problem arises in the modeling of a premised laminar flame moving in a long tube. We consider a single step chemical reaction of nth order. REACTANT→ PRODUCT and allow the heat transfert between the flame and the tube walls. In the limit of small Mach numbers, the one dimensional travelling wave problem reduces after renormalization to a system of reaction diffusion equations: To find u the mixture temperature, u the reactant concentration, and h the heat loss intensity solution of :-u"+cu'- v'ⁿf(u)-hg(u) u(-∞)=u(+∞)=O -Λv"+cv'=-vⁿf(u) v (-∞)=1; v'(+∞)=O. Then we analyse the asymptotic behavior of the solutions as a small parameter ɛ goes to 0. Lastly, we establish a rigorous singular perturbation analysis which yields a limit relationship between h and c

L'objectif de cette thèse est de développer une plateforme intégrée et spatialisée permettant de déterminer les inégalités liées aux expositions environnementales des populations aux substances chimiques. Un modèle multimédia d'exposition est utilisé pour permettre le calcul des doses d'exposition de populations cibles liées à l'ingestion de produits alimentaires, d'eau de consommation, de sol et à l'inhalation de contaminants atmosphériques. Ce modèle est alimenté par des bases de données géoréférencées de différents types : environnemental (eau, air, sol, alimentation), comportemental, démographique, interfacé dans un Système d'Information Géographique (SIG). Une étude pilote est détaillée sur les régions Nord-Pas-de-Calais et Picardie, pour le cadmium, le plomb, le nickel et le chrome. Les zones de surexposition potentielle et leurs déterminants ont été identifiés par l'analyse spatiale des variations des indicateurs de risque. La mise en évidence de zones de plus fortes contaminations environnementales et/ou de surexpositions potentielles présente des incertitudes dont une partie est, à ce stade, simulée dans la plateforme. L’étude pilote a permis d'établir l'opérationnalité de la plateforme. Les cartes d'exposition obtenues permettent d'identifier les zones géographiques dans lesquelles conduire en priorité des études environnementales de terrain afin d'aider à la mise en oeuvre de mesures de réduction de l'exposition. Ces travaux proposent également d'améliorer l'évaluation des risques sanitaires « classique » avec une meilleure intégration des déterminants essentiels de l'exposition réelle des populations au niveau d'un territoire
The aim of this thesis was to develop an integrated and spatialized platform that allows characterizing the inequality linked to environmental exposure of population to chemical substances. A multimedia exposure model was used to assess the exposure dose of target population via inhalation of atmospheric contaminants and via ingestion of soil, food and drinking water. This model uses geo-referenced databases implemented in a GIS including environmental (water, air, soil, food), behavioral, and demographic data. A case study was performed across two regions in France (Picardie and Nord-Pas-de-Calais) for cadmium, chromium, nickel and lead. Exposure hotspot areas and determinants were identified by the spatial analysis of risk indicator variations. Uncertainties are associated with highlighting areas where potential hotspot exposure have been detected. Some of these uncertainties are simulated by the platform. The case study has allowed to demonstrate the platform feasibility and functioning. Hotspot areas with significantly elevated exposure indicator values might be used to define environmental monitoring campaigns, to manage and plan remedial actions. This work proposes also to improve “classical” health risk assessment with a better integration of essential determinant for the real population exposure at the territory scale

Ce mémoire de thèse s'articule en deux parties. La premiière partie s'intéresse à la robustesse du nombre de reproduction de base R0 et du nombre de reproduction type T, qui sont des seuils pour des systèmes épidémiques. Nous montrons que ces paramètres seuils ne sont pas des jauges fiables pour évaluer la distance qui sépare le Jacobien J du système, calculé au point d'équilbre sans maladie à l'ensemble des matrices stables (S) si J est instable, ( respectivement 'a l'ensemble des matrices instables ( U) si J est stable). La deuxième partie se penche sur l'étude d'un modèle déterministe (S V E I R), o'u S représente les susceptibles, V les vaccinés, E les latents, I les infectieux et R les immuns. Dans le dit modèle, les vaccinés sont considérés comme des "susceptibles dans une moindre mesure" du fait que le vaccin ne garantit pas une immunité totale. Le nombre de reproduction de base Rvac qui assure l'existence et l'unicité de l'équilibre endémique est déterminé La globale stabilité de l'équilibre endémique est établie en utilisant les techniques de Lyapunov quand Rvac > 1. Ce réesultat améliore un résultat de Gumel et al.

Les éléments trace métalliques (ETM) sont des polluants qui sont sources de préoccupations majeures à cause de leurs toxicités et de leurs propriétés cumulatives. Certains d’eux peuvent être cancérogènes. La métropole de Sfax, située au sud de la Tunisie, a été touchée par des rejets et émissions d’ETM depuis des décennies. Plusieurs études ont confirmé que la pollution métallique est principalement d’origine anthropique, liée en particulier aux activités industrielles. Cela présente un risque sur la santé des habitants, particulièrement pour ceux qui sont également exposés par leur métier dans des procédés industriels. L’objectif de cette étude est d’évaluer les risques sanitaires associés à l’exposition professionnelle dans les industries qui manipulent des ETM dans leurs processus de production, en suivant l’approche de l’évaluation des risques sanitaires. Dans ce but, cinq entreprises qui utilisent des métaux comme matière première pour produire une variété de produits métalliques, ont accepté d’adhérer à notre étude. Les métaux qui étaient explorés sont Al, Cr, Ni, Cu, Zn and Pb. Des modèles mathématiques de prédiction des expositions professionnelles aux agents chimiques ont été utilisés pour estimer les concentrations des ETM dans l’air intérieur pour 15 postes différents. Des prélèvements atmosphériques ont été effectués afin de comparer les concentrations prédites à celles mesurées, en utilisant des prélèvements individuels ou sur postes fixes. Finalement, des prélèvements urinaires ont été collectés chez 61 travailleurs afin d’évaluer le lien entre l’excrétion des ETM et les niveaux atmosphériques. Globalement, les estimations des concentrations atmosphériques avaient une bonne concordance avec les valeurs mesurées sur l’ensemble des postes de travail. Des meilleures prédictions ont été trouvées pour certaines activités, en particulier pour des processus de découpage des tôles et de soudures. Les valeurs qui correspondent au 90ème percentile de la distribution de l’exposition ont été utilisées pour le calcul du « interaction-based hazard index HIint » pour évaluer les risques associés aux mélanges d’ETM. Un excès de risque total de cancer a été aussi calculé. Les résultats ont montré des expositions élevées qui peuvent provoquer des pathologies respiratoires, avec un HIint allant jusqu’à 93,6. Les niveaux les plus élevés sont attribués à la soudure à l'arc à l'électrode enrobée et au débitage et cisaillage des tôles. Ces risques augmentent à cause de l’effet synergique qui existe entre Cr, Ni et Cu. Des risques élevés de cancer du poumon et du rein ont été encore démontrés (risque total vie entière de cancer pour les ouvriers exposés : 3.7×10-4). Ce travail montre que les modèles mathématiques peuvent prédire correctement les niveaux d’exposition des ETM dans l’air intérieur pour plusieurs processus de la métallurgie. Ce résultat est intéressant pour aider les différents acteurs pour piloter de manière efficiente les systèmes de surveillance et la réduction des expositions dans ce secteur économique. Des progrès en matière d’hygiène industrielle sont nécessaires dans ce secteur industriel pour minimiser le risque sanitaire élevé auquel sont actuellement exposés les travailleurs concernés
Trace metallic elements (TMEs) are pollutants of great concern even in trace amounts because of their toxicity and cumulative property. Some of them can be carcinogenic. The Sfax metropolis, located in the southern region of Tunisia, has been affected by releases of TMEs for decades. Several studies confirmed that this pollution is predominantly originated from anthropogenic sources, mainly from industrial activities. It represents a threat to the health of residents, particularly for those also exposed during occupational activities in industrial processes. The present study aims to assess health risks associated with occupational exposure in industries handling TMEs in their production processes, following the human health risk assessment approach. To this end, five companies using raw material containing TMEs to produce a variety of metallic products accepted to participate to the study. The metals that were investigated are Al, Cr, Ni, Cu, Zn and Pb. Mathematical models for estimating occupational exposure to chemicals were used to predict indoor air TME exposure levels in 15 different job tasks. Air monitoring was conducted in order to compare the predicted workplace air concentrations versus the direct measured ones, using both workplace-fixed monitors and personal samplers. And finally, urine samples were collected from 61 workers to assess whether TMEs excretion correlate with job exposure levels. Globally, the predicted air estimates relate well with measured concentrations over the whole set of job tasks. Better predictions were found for certain activities, in particular for steel cutting and welding processes. The values that correspond to the 90th percentile of the exposure distribution were then used in the interaction-based hazard index HIint to assess health risks associated with the mixtures of TMEs. Total cancer risk was also investigated. Results showed high exposures for metals that may elicit respiratory conditions, with a HIint reaching 93.6, the highest levels being for the shielded metal arc welding and metal shearing and slitting tasks. The risk is enhanced by a synergetic effect between Cr, Ni and Cu. High risks of lung and kidney cancers were demonstrated (the predicted life-long total cancer risk for exposed workers is 3.7×10-4). This work shows that mathematical models can be accurate in predicting TME airborne exposure levels for several processes in the metallurgic industry, a result that is of interest to help the different stakeholders to monitor efficiently exposure surveillance and abatement. Progress in industrial hygiene is needed in this industrial sector to reduce the high level of health risks currently experienced by the metalworking workers

On présente tout d'abord la théorie des commutateurs positifs et ses développements récents. On discute ensuite les applications à la théorie spectrale des Laplaciens magnétiques sur les variétés, les opérateurs de Dirac singuliers et des opérateurs de Schroedinger à décroissance lente. On étudie ensuite les propriétés spectrales de divers Laplaciens discrets pour les questions de l'auto-adjonction et l'asymptotique des valeurs propres. Puis on présente des résultats liés au spectre absolument continu pour les opérateurs de Dirac discret en dimension 1. Enfin on caractérise les chemins hamiltonien pour les échiquiers de grande dimension.

On recherche par une méthode variationnelle les solutions t-périodiques d'un système dynamique comportant un potentiel convexe sous quadratique ou super quadratique. On démontre des théorèmes d'existence d'une solution non triviale

Les processus autorégressifs à bifurcation (BAR) ont été au centre de nombreux travaux de recherche ces dernières années. Ces processus, qui sont l'adaptation à un arbre binaire des processus autorégressifs, sont en effet d'intérêt en biologie puisque la structure de l'arbre binaire permet une analogie aisée avec la division cellulaire. L'objectif de cette thèse est l'estimation les paramètres de variantes de ces processus autorégressifs à bifurcation, à savoir les processus BAR à valeurs entières et les processus BAR à coefficients aléatoires. Dans un premier temps, nous nous intéressons aux processus BAR à valeurs entières. Nous établissons, via une approche martingale, la convergence presque sûre des estimateurs des moindres carrés pondérés considérés, ainsi qu'une vitesse de convergence de ces estimateurs, une loi forte quadratique et leur comportement asymptotiquement normal. Dans un second temps, on étudie les processus BAR à coefficients aléatoires. Cette étude permet d'étendre le concept de processus autorégressifs à bifurcation en généralisant le côté aléatoire de l'évolution. Nous établissons les mêmes résultats asymptotiques que pour la première étude. Enfin, nous concluons cette thèse par une autre approche des processus BAR à coefficients aléatoires où l'on ne pondère plus nos estimateurs des moindres carrés en tirant parti du théorème de Rademacher-Menchov.

Le but de cette thèse est l'étude de quelques problèmes d'identification de forme en diffraction acoustique. On cherche notamment à construire des méthodes numériques de résolution puis à quantifier l'information nécessaire pour assurer une bonne identification. Le problème direct, forme des équations aux dérivées partielles issues de l'acoustique linéaire, est résolu à l'aide de la méthode de nystrom. Plusieurs cas de validation sont proposés pour tester la précision et l'efficacité de cette méthode. Le problème inverse est ensuite considère dans trois cas. Dans le premier, on s'intéresse à l'identification de la forme d'un objet à partir de l'amplitude limite mesurée dans des directions réparties tout autour de l'objet. Nous donnons un résultat de calcul de la dérivée de l'opérateur champ lointain par rapport au domaine dans le cas d'un objet de frontière rigide (condition aux limites de Neumann). Ce calcul sert de base à l'élaboration de deux nouvelles méthodes numériques. Leurs performances sont illustrées en considérant plusieurs exemples de reconstruction de formes bidimensionnelles. Nous terminons par une étude approfondie pour appréhender l'influence des différents paramètres numériques et physiques sur la qualité de l'identification. Le deuxième cas concerne le problème d'identification à partir d'un ensemble de mesures réduit. L'approche choisie consiste à générer, par un principe d'analyticité, toute l'information à partir de données mesurées sur une partie du cercle unité. La dernière partie traite du problème dans le demi-plan. Ce cadre peut être assimilé à l'identification d'un objet enfoui à partir du champ acoustique diffracte mesuré sur le sol. Les résultats théoriques d'unicité et de dérivation de domaine ont été étendus. Des essais numériques d'identification de formes simples permettent de valider ces calculs.

Nous nous intéressons à deux modèles de marches aléatoires réversibles en milieu aléatoire. Le premier est la marche aléatoire en conductances aléatoires. Nous montrons que l'environnement vu par cette marche converge vers l'équilibre à une vitesse polynomiale au sens de la variance, notre hypothèse principale étant que les conductances sont uniformément minorées. Notre méthode se base sur l'établissement d'une inégalité de Nash, suivie soit d'une comparaison avec la marche aléatoire simple, soit d'une analyse plus directe fondée sur une méthode de martingale. Pour le deuxième modèle qui nous intéresse, on attribue pour tout x de Z^d une valeur positive \tau_x. La marche construite, souvent appelée "modèle de Bouchaud", est réversible par rapport à la mesure de poids (\tau_x). Nous supposons que ces poids sont indépendants, de même loi et à queue polynomiale. Nous donnons le comportement asymptotique de la valeur propre principale du générateur de cette marche aléatoire, avec conditions aux bords de Dirichlet. La caractéristique principale du résultat est une transition de phase, qui a lieu pour un seuil dépendant de la dimension. Lorsque les (\tau_x) ne sont pas intégrables et pour d > 4, nous obtenons également la limite d'échelle, sous-diffusive, de ce modèle. La méthode consiste dans un premier temps à exprimer la marche aléatoire comme un changement de temps d'une marche aléatoire en conductances aléatoires. Il suffit alors de montrer que ce changement de temps, une fois normalisé, converge sous la loi moyennée vers un subordinateur stable. Ce résultat est obtenu en utilisant les propriétés de vitesse de convergence à l'équilibre de l'environnement vu par la particule montrées précédemment.

Les façons d'aborder l'étude du spectre du laplacien sont multiples. Ce mémoire se concentre sur les partitions spectrales optimales de domaines planaires. Plus précisément, lorsque nous imposons des conditions aux limites de Dirichlet, nous cherchons à trouver la ou les partitions qui réalisent l'infimum (sur l'ensemble des partitions à un certain nombre de composantes) du maximum de la première valeur propre du laplacien sur tous ses sous-domaines. Dans les dernières années, cette question a été activement étudiée par B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, S. Terracini et leurs collaborateurs, qui ont obtenu plusieurs résultats analytiques et numériques importants. Dans ce mémoire, nous proposons un problème analogue, mais pour des conditions aux limites de Neumann cette fois. Dans ce contexte, nous nous intéressons aux partitions spectrales maximales plutôt que minimales. Nous cherchons alors à vérifier le maximum sur toutes les $k$-partitions possibles du minimum de la première valeur propre non nulle de chacune des composantes. Cette question s'avère plus difficile que sa semblable dans la mesure où plusieurs propriétés des valeurs propres de Dirichlet, telles que la monotonicité par rapport au domaine, ne tiennent plus. Néanmoins, quelques résultats sont obtenus pour des 2-partitions de domaines symétriques et des partitions spécifiques sont trouvées analytiquement pour des domaines rectangulaires. En outre, des propriétés générales des partitions spectrales optimales et des problèmes ouverts sont abordés.
There exist many ways to study the spectrum of the Laplace operator. This master thesis focuses on optimal spectral partitions of planar domains. More specifically, when imposing Dirichlet boundary conditions, we try to find partitions that achieve the infimum (over all the partitions of a given number of components) of the maximum of the first eigenvalue of the Laplacian in all the subdomains. This question has been actively studied in recent years by B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, S. Terracini and their collaborators, who obtained a number of important analytic and numerical results. In the present thesis we propose a similar problem, but for the Neumann boundary conditions. In this case, we are looking for spectral maximal, rather than minimal, partitions. More precisely, we attempt to find the maximum over all possible $k$-partitions of the minimum of the first non-zero Neumann eigenvalue of each component. This question appears to be more difficult than the one for the Dirichlet conditions, since many properties of Dirichlet eigenvalues, such as domain monotonicity, no longer hold in the Neumann case. Nevertheless, some results are obtained for 2-partitions of symmetric domains, and specific partitions are found analytically for rectangular domains. In addition, some general properties of optimal spectral partitions and open problems are also discussed.

La présente thèse porte sur différentes questions émanant de la géométrie spectrale. Ce domaine des mathématiques fondamentales a pour objet d'établir des liens entre la géométrie et le spectre d'une variété riemannienne. Le spectre d'une variété compacte fermée M munie d'une métrique riemannienne $g$ associée à l'opérateur de Laplace-Beltrami est une suite de nombres non négatifs croissante qui tend vers l’infini. La racine carrée de ces derniers représente une fréquence de vibration de la variété. Cette thèse présente quatre articles touchant divers aspects de la géométrie spectrale. Le premier article, présenté au Chapitre 1 et intitulé « Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunctions », porte sur la géométrie nodale d'opérateurs elliptiques. L’objectif de mes travaux a été de généraliser un résultat de L. Polterovich et de M. Sodin qui établit une borne sur la distribution des extrema nodaux sur une surface riemannienne pour une assez vaste classe de fonctions, incluant, entre autres, les fonctions propres associées à l'opérateur de Laplace-Beltrami. La preuve fournie par ces auteurs n'étant valable que pour les surfaces riemanniennes, je prouve dans ce chapitre une approche indépendante pour les fonctions propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami dans le cas des variétés riemanniennes de dimension arbitraire. Les deuxième et troisième articles traitent d'un autre opérateur elliptique, le p-laplacien. Sa particularité réside dans le fait qu'il est non linéaire. Au Chapitre 2, l'article « Principal frequency of the p-laplacian and the inradius of Euclidean domains » se penche sur l'étude de bornes inférieures sur la première valeur propre du problème de Dirichlet du p-laplacien en termes du rayon inscrit d’un domaine euclidien. Plus particulièrement, je prouve que, si p est supérieur à la dimension du domaine, il est possible d'établir une borne inférieure sans aucune hypothèse sur la topologie de ce dernier. L'étude de telles bornes a fait l'objet de nombreux articles par des chercheurs connus, tels que W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos et T. Carroll, principalement pour le cas de l'opérateur de Laplace. L'adaptation de ce type de bornes au cas du p-laplacien est abordée dans mon troisième article, « Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian », présenté au Chapitre 3 de cet ouvrage. Mon quatrième article, « Wolf-Keller theorem for Neumann Eigenvalues », est le fruit d'une collaboration avec Guillaume Roy-Fortin. Le thème central de ce travail gravite autour de l'optimisation de formes dans le contexte du problème aux valeurs limites de Neumann. Le résultat principal de cet article est que les valeurs propres de Neumann ne sont pas toujours maximisées par l'union disjointe de disques arbitraires pour les domaines planaires d'aire fixée. Le tout est présenté au Chapitre 4 de cette thèse.
The main topic of the present thesis is spectral geometry. This area of mathematics is concerned with establishing links between the geometry of a Riemannian manifold and its spectrum. The spectrum of a closed Riemannian manifold M equipped with a Riemannian metric g associated with the Laplace-Beltrami operator is a sequence of non-negative numbers tending to infinity. The square root of any number of this sequence represents a frequency of vibration of the manifold. This thesis consists of four articles all related to various aspects of spectral geometry. The first paper, “Superlevel sets and nodal extrema of Laplace eigenfunction”, is presented in Chapter 1. Nodal geometry of various elliptic operators, such as the Laplace-Beltrami operator, is studied. The goal of this paper is to generalize a result due to L. Polterovich and M. Sodin that gives a bound on the distribution of nodal extrema on a Riemann surface for a large class of functions, including eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator. The proof given by L. Polterovich and M. Sodin is only valid for Riemann surfaces. Therefore, I present a different approach to the problem that works for eigenfunctions of the Laplace-Beltrami operator on Riemannian manifolds of arbitrary dimension. The second and the third papers of this thesis are focused on a different elliptic operator, namely the p-Laplacian. This operator has the particularity of being non-linear. The article “Principal frequency of the p-Laplacian and the inradius of Euclidean domains” is presented in Chapter 2. It discusses lower bounds on the first eigenvalue of the Dirichlet eigenvalue problem for the p-Laplace operator in terms of the inner radius of the domain. In particular, I show that if p is greater than the dimension, then it is possible to prove such lower bound without any hypothesis on the topology of the domain. Such bounds have previously been studied by well-known mathematicians, such as W. K. Haymann, E. Lieb, R. Banuelos, and T. Carroll. Their papers are mostly oriented toward the case of the usual Laplace operator. The generalization of such lower bounds for the p-Laplacian is done in my third paper, “Bounds on the Principal Frequency of the p-Laplacian”. It is presented in Chapter 3. My fourth paper, “Wolf-Keller theorem of Neumann Eigenvalues”, is a joint work with Guillaume Roy-Fortin. This paper is concerned with the shape optimization problem in the case of the Laplace operator with Neumann boundary conditions. The main result of our paper is that eigenvalues of the Neumann boundary problem are not always maximized by disks among planar domains of given area. This joint work is presented in Chapter 4.