Academic literature on the topic 'Variational calculus'

Abstract We review the approach to the calculus of variations using Ehresmann’s theory of jets. We describe different types of jet manifold, different types of variational problem and different cohomological structures associated with such problems.

Within the geometrical framework developed in [Geometric constrained variational calculus. I: Piecewise smooth extremals, Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 12 (2015) 1550061], the problem of minimality for constrained calculus of variations is analyzed among the class of differentiable curves. A fully covariant representation of the second variation of the action functional, based on a suitable gauge transformation of the Lagrangian, is explicitly worked out. Both necessary and sufficient conditions for minimality are proved, and reinterpreted in terms of Jacobi fields.

Ce travail a pour motivation le principe variationnel de maxwell: lorsque deux réseaux électriques sont disposés en parallèle, la distribution du courant, soumise à la loi de Kirchhoff, se fait de façon a minimiser la puissance totale dissipée. Ce principe se présente donc comme une manifestation de l'inf-convolution des fonctions puissances associées aux deux réseaux. Si les résistances généralisées de ces réseaux sont les matrices symétriques semi-définies positives a et b, cette constation conduit au fait que la résistance généralisée équivalente, appelée somme parallèle de a et b, est la matrice associée a la forme quadratique convexe résultant de l'inf-convolution des formes quadratiques convexes associées à a et b. Cette définition variationnelle de l'addition parallèle permet d'utiliser, d'une manière systématique, les techniques de l'analyse convexe pour en développer les propriétés de manière élégante. Toujours à partir de formulations variationnelles, il est également possible d'interpréter en termes d'analyse convexe d'une part la notion électrique de court-circuit, et d'autre part celle de différence parallèle de deux operateurs symétriques semi-définis positifs. Cette dernière opération est définie a partir d'une notion nouvelle en analyse convexe: la déconvolution d'une fonction convexe par une autre, opération qui, grâce a un résultat récent sur la conjuguée de la différence de deux fonctions, peut être, dans une certaine mesure, considérée comme l'opération inverse de l'inf-convolution. Les résultats concernant l'addition parallèle, l'opération de court-circuit et la différence parallèle sont d'abord énoncés en dimension finie puis prolonges au cadre hilbertien. L’extension possible des diverses opérations étudiées aux sous-espaces hilbertiens d'un espace vectoriel topologique est suggérée en annexe.

The HELMHOLTZ package, written in Maple V, is a collection of commands to support research in the variational calculus. These commands include the standard operators on differential forms, Euler-Lagrange operators, homotopy operators, Lie bracket, Lie derivatives, and the prolongation of a vector field. We give a brief introduction to the variational calculus. We describe each of the commands in the HELMHOLTZ package completely along with numerous examples of each. Applications of the package include verification of symmetry groups for differential equations, solving the inverse problem of the calculus of variations, computing generalized symmetries, and finding variational integrating factors. A complete listing of the Maple code for HELMHOLTZ is found in an appendix.

This work develops theoretical and applied results for variational convex analysis. First we present the basic tools of analysis necessary to develop the core theory and applications. New results concerning duality principles for systems originally modeled by non-linear differential equations are shown in chapters 9 to 17. A key aspect of this work is that although the original problems are non-linear with corresponding non-convex variational formulations, the dual formulations obtained are almost always concave and amenable to numerical computations. When the primal problem has no solution in the classical sense, the solution of dual problem is a weak limit of minimizing sequences, and the evaluation of such average behavior is important in many practical applications. Among the results we highlight the dual formulations for micro-magnetism, phase transition models, composites in elasticity and conductivity and others. To summarize, in the present work we introduce convex analysis as an interesting alternative approach for the understanding and computation of some important problems in the modern calculus of variations.
Ph. D.

In this thesis, we discuss the formulation of variational problems on supermanifolds. Supermanifolds incorporate bosonic as well as fermionic degrees of freedom. Fermionic fields take values in the odd part of an appropriate Grassmann algebra and are thus showing an anticommutative behaviour. However, a systematic treatment of these Grassmann parameters requires a description of spaces as functors, e.g. from the category of Grassmann algberas into the category of sets (or topological spaces, manifolds). After an introduction to the general ideas of this approach, we use it to give a description of the resulting supermanifolds of fields/maps. We show that each map is uniquely characterized by a family of differential operators of appropriate order. Moreover, we demonstrate that each of this maps is uniquely characterized by its component fields, i.e. by the coefficients in a Taylor expansion w.r.t. the odd coordinates. In general, the component fields are only locally defined. We present a way how to circumvent this limitation. In fact, by enlarging the supermanifold in question, we show that it is possible to work with globally defined components. We eventually use this formalism to study variational problems. More precisely, we study a super version of the geodesic and a generalization of harmonic maps to supermanifolds. Equations of motion are derived from an energy functional and we show how to decompose them into components. Finally, in special cases, we can prove the existence of critical points by reducing the problem to equations from ordinary geometric analysis. After solving these component equations, it is possible to show that their solutions give rise to critical points in the functor spaces of fields.
In dieser Dissertation wird die Formulierung von Variationsproblemen auf Supermannigfaltigkeiten diskutiert. Supermannigfaltigkeiten enthalten sowohl bosonische als auch fermionische Freiheitsgrade. Fermionische Felder nehmen Werte im ungeraden Teil einer Grassmannalgebra an, sie antikommutieren deshalb untereinander. Eine systematische Behandlung dieser Grassmann-Parameter erfordert jedoch die Beschreibung von Räumen durch Funktoren, z.B. von der Kategorie der Grassmannalgebren in diejenige der Mengen (der topologischen Räume, Mannigfaltigkeiten, ...). Nach einer Einführung in das allgemeine Konzept dieses Zugangs verwenden wir es um eine Beschreibung der resultierenden Supermannigfaltigkeit der Felder bzw. Abbildungen anzugeben. Wir zeigen, dass jede Abbildung eindeutig durch eine Familie von Differentialoperatoren geeigneter Ordnung charakterisiert wird. Darüber hinaus beweisen wir, dass jede solche Abbildung eineindeutig durch ihre Komponentenfelder, d.h. durch die Koeffizienten einer Taylorentwickelung bzgl. von ungeraden Koordinaten bestimmt ist. Im Allgemeinen sind Komponentenfelder nur lokal definiert. Wir stellen einen Weg vor, der diese Einschränkung umgeht: Durch das Vergrößern der betreffenden Supermannigfaltigkeit ist es immer möglich, mit globalen Koordinaten zu arbeiten. Schließlich wenden wir diesen Formalismus an, um Variationsprobleme zu untersuchen, genauer betrachten wir eine super-Version der Geodäte und eine Verallgemeinerung von harmonischen Abbildungen auf Supermannigfaltigkeiten. Bewegungsgleichungen werden von Energiefunktionalen abgeleitet und wir zeigen, wie sie sich in Komponenten zerlegen lassen. Schließlich kann in Spezialfällen die Existenz von kritischen Punkten gezeigt werden, indem das Problem auf Gleichungen der gewöhnlichen geometrischen Analysis reduziert wird. Es kann dann gezeigt werden, dass die Lösungen dieser Gleichungen sich zu kritischen Punkten im betreffenden Funktor-Raum der Felder zusammensetzt.

On donne une caracterisation du prolongement des champs de vecteurs sur une variete des points proches. On determine le type d'algebres locales pour lesquel certaines relevees de formes symplectiques (respectivement pseudo-riemanniennes) sont symplectiques (respectivement pseudo-riemanniennes). On definit les prolongements d'algebres locales: ce qui permet de definir le complexe differentiel de lagrange sur une variete de points proches

Three problems are being investigated in this thesis. The first two relate to the modelling and analysis of martensitic phase transitions, while the third is concerned with some mathematical tools used in this setting. After a short introduction (Chapter 1) and overviews of the calculus of variations and martensitic phase transformations (Chapter 2), the research part of this thesis is divided into three chapters. We show in Chapter 3 that for the two wells $\mathrm{SO}(3)U$ and $\mathrm{SO}(3)V$ to be rank-one connected, where the $3\times 3$ symmetric positive definite $U$ and $V$ have the same eigenvalues, it is necessary and sufficient that $\mathrm{det}(U-V)=0$, a result that does not hold in higher dimensions. Using this criterion and a result of Gurtin, formulae for the twinning plane and the shearing vector are obtained, which yield an extremely simple condition for the occurrence of so-called compound twins. Our results also provide a simple classification of the twinning mode of the two wells by looking at the crystallographic properties of the eigenvectors of the difference $U-V$. As an illustration, we apply our results to cubic-to-tetra gonal,tetragonal-to-monoclinic and cubic-to-monoclinic transitions. Chapter 4 focuses on the mathematical analysis of biaxial loading experiments in martensite, more particularly on how hysteresis relates to metastability. These experiments were carried out by Chu and James and their mathematical treatment was initiated by Ball, Chu and James. Experimentally it is observed that a homogeneous deformation $y_1(x)= U_1x$ is the stable state for `small' loads while $y_2(x)=U_2x$ is stable for `large' loads. A model was proposed by Ball, Chu and James which, for a certain intermediate range of loads, predicts crucially that $y_1(x)=U_1x$ remains metastable i.e., a local - as opposed to global - minimiser of the energy). This result explains convincingly the hysteresis that is observed experimentally. It is easy to get an upper bound for when metastability finishes. However, it was also noticed that this bound (the Schmid Law) may not be sharp, though this required some geometric conditions on the sample. In this chapter, we rigorously justify the Ball-Chu-James model by means of De Giorgi's $\Gamma$-convergence, establish some properties of local minimisers of the (limiting) energy and prove the metastability result mentioned above. An important part of the chapter is then devoted to establishing which geometric conditions are necessary and sufficient for the counter-example to the Schmid Law to apply. Finally, Chapter 5 investigates the structure of the solutions to the two-well problem. Restricting ourselves to the subset $K=\{H\}\cup \mathrm{SO}(2)V \subset\mathrm{SO}(2)U\cup\mathrm{SO}(2)V$ and assuming the two wells to be compatible, we let $T_1$ and $T_2$ denote the two (not necessarily distinct) twins of $H$ on $\mathrm{SO}(2)V$ and ask the following question: if $\nu_x$ is a non-trivial gradient Young measure almost everywhere supported on $K$, does its support necessarily contain a pair of rank-one connected matrices on a set of positive measure? Although we do not provide a solution for the general case, we show that this is true whenever (a) $\nu_x\equiv \nu$ is homogeneous and $\mathrm{supp}\nu\cap \mathrm{SO}(2)V$ is connected, (b) $\nu_x\equiv \nu$ is homogeneous and $T_1=T_2$ i.e., when the two wells are trivially rank-one connected) or (c) $\mathrm{supp}\nu_x \subset F$ a.e., for some finite set $F$. We also establish a more general case provided a strong `rigidity' conjecture holds.

Fractional derivatives (FDs) or derivatives of arbitrary order have been used in many applications, and it is envisioned that in future they will appear in many functional minimization problems of practical interest. Since fractional derivatives have such property as being non-local, it can be extremely challenging to find analytical solutions for fractional parametric optimization problems, and in many cases, analytical solutions may not exist. Therefore, it is of great importance to develop numerical methods for such problems. This paper presents a numerical scheme for a linear functional minimization problem that involves FD terms. The FD is defined in terms of the Riemann-Liouville definition; however, the scheme will also apply to Caputo derivatives, as well as other definitions of fractional derivatives. In this scheme, the spatial domain is discretized into several subdomains and 2-node one-dimensional linear elements are adopted to approximate the solution and its fractional derivative at point within the domain. The fractional optimization problem is converted to an eigenvalue problem, the solution of which leads to fractional orthogonal functions. Convergence study of the number of elements and error analysis of the results ensure that the algorithm yields stable results. Various fractional orders of derivative are considered and as the order approaches the integer value of 1, the solution recovers the analytical result for the corresponding integer order problem.

Cette étude porte sur une des innovations contemporaines liées à l’économie de la publication scientifique : les accords dits transformants, un objet relativement circonscrit au sein des relations entre consortiums de bibliothèques et éditeurs scientifiques, et temporellement situé entre 2015 et 2020. Ce type d’accords a pour objectif affiché d’organiser la transition du modèle traditionnel de l’abonnement à des revues (souvent proposées par regroupements thématiques ou collections) vers celui de l’accès ouvert en opérant une réaffectation des budgets qui y sont consacrés. Notre travail d’analyse sociologique constitue une première étude systématique de cet objet, fondée sur la recension de 197 accords. Le corpus ainsi constitué inclut des accords caractérisés par la coprésence d’une composante d’abonnement et d’une composante de publication en accès ouvert, même minimale (« jetons » de publication offerts, réduction sur les APC...). En conséquence, ont été exclus de l’analyse les accords portant uniquement sur du financement centralisé de publication en accès ouvert, que ce soit avec des éditeurs ne proposant que des revues avec paiement par l’auteur (PLOS, Frontiers, MDPI...) ou des éditeurs dont une partie du catalogue est constitué de revues en accès ouvert. L’accord le plus ancien de notre corpus a été signé en 2010, les plus récents en 2020 – les accords ne commençant qu’en 2021, même annoncés au cours de l’étude, n’ont pas été retenus. Plusieurs résultats se dégagent de notre analyse. Tout d’abord, on note une grande diversité des acteurs impliqués avec 22 pays et 39 éditeurs, même si certains consortiums (Pays-Bas, Suède, Autriche, Allemagne) et éditeurs (CUP, Elsevier, RSC, Springer) en ont signé beaucoup plus que d’autres. Ensuite, la durée des accords, comprise entre une et six années, révèle une distribution très inégalitaire, avec plus de la moitié des accords (103) signés pour 3 ans, ainsi qu’une faible proportion pour 4 ans ou plus (22 accords). Enfin, en dépit d’appels répétés à la transparence, moins de la moitié des accords (96) ont un texte accessible au moment de cette étude, sans qu’on puisse observer une tendance récente à une plus grande disponibilité. L’analyse montre également des degrés d’ouverture très variables, allant d’une simple information sur le répertoire ESAC en passant par la mise à disposition d’un format annotable jusqu’à l’attribution d’un DOI et d’une licence de réutilisation (CC-BY), en incluant le détail des sommes monétaires. Parmi les 96 accords disponibles, dont 47 signés en 2020, 62 ont fait l’objet d’une analyse en profondeur. C’est à notre connaissance la première analyse à cette échelle, sur un type de matériel non seulement inédit, mais qui était auparavant soumis à des clauses de confidentialité. Fondée sur une lecture minutieuse, l’étude décrit de manière fine leurs propriétés, depuis la matérialité du document jusqu’aux formules financières, en passant par leur morphologie et l’ensemble des droits et devoirs des parties. Les contenus des accords sont donc analysés comme une collection dont nous cherchons à déterminer les points communs et les variations, à travers des codages explicites sur certaines de leurs caractéristiques. L’étude pointe également des incertitudes, et notamment leur caractère « transitionnel », qui demeure fortement discuté. D’un point de vue morphologique, les accords montrent une grande diversité en matière de taille (de 7 à 488 pages) et de structure. Néanmoins, par définition, ils articulent tous deux objets essentiels : d’une part, les conditions de réalisation d’une lecture d’articles de revues, sous forme d’abonnement, mêlant des préoccupations d’accès et de sécurité ; d’autre part, les modalités de publication en accès ouvert, articulant la gestion d’un nouveau type de workflow à toute une série d’options possibles. Parmi ces options, mentionnons notamment le périmètre des revues considérées (hybrides et/ou accès ouvert), les licences disponibles, le degré d’obligation de cette publication, les auteurs éligibles ou le volume d’articles publiables. L’un des résultats les plus importants de cette analyse approfondie est la mise au jour d’un découplage presque complet, au sein même des accords, entre l’objet abonnement et l’objet publication. Bien entendu, l’abonnement est systématiquement configuré dans un monde fermé, soumis à paiement qui déclenche des séries d’identification des circulations légitimes tant du contenu informationnel que des usagers. Il insiste notamment sur les interdictions de réutilisation ou même de copie des articles scientifiques. À l’opposé, la publication en accès ouvert est attachée à un monde régi par l’accès gratuit au contenu, ce qui induit des préoccupations de gestion du workflow et des modalités d’accessibilité. De plus, les différents éléments constitutifs de ces objets contractuels ne sont pas couplés : d’un côté, les lecteurs sont constitués de l’ensemble des membres des institutions abonnées, de l’autre, seuls les auteurs correspondants (« corresponding authors ») sont concernés ; les listes de revues accessibles à la lecture et celles réservées à la publication en accès ouvert sont le plus souvent distinctes ; les workflows ont des objectifs et des organisations matérielles totalement différentes, etc. L’articulation entre les deux objets contractuels relève uniquement d’une formule de distribution financière qui, outre des combinaisons particulières entre l’un et l’autre, permet d’attribuer des étiquettes distinctes aux accords (offset agreement, publish & read, read & publish, read & free articles, read & discount). Au-delà de cette distribution, l’étude des arrangements financiers montre une gamme de dispositions allant d’une prévisibilité budgétaire totale, donc identique aux accords d’abonnement antérieurs, à une incertitude sur le volume de publication ou sur le montant définitif des sommes échangées. Les modalités concrètes de calcul des montants associés à la publication en accès ouvert sont relativement variées. S’il existe effectivement des formules récurrentes (volume d’articles multiplié par un prix individuel, reprise de la moyenne des sommes totales d’APC des années précédentes...), le calcul des sommes en jeu est toujours le résultat d’une négociation singulière entre un consortium et un éditeur scientifique, et aboutit parfois à des formules originales et complexes. À ce titre, l’espace des possibles en matière de formules financières n’est jamais totalement clos. Par ailleurs, la volonté des consortiums d’opérer une « transformation » de leurs accords vers la publication à coût constant renvoie à des définitions diversifiées du « coût » (inclusion ou non des dépenses d’APC préexistantes) et de la constance (admission ou pas d’une « inflation » à 2 ou 3%). De plus, nous n’avons observé aucune disposition contractuelle permettant d’anticiper les sommes en jeu au-delà de l’horizon temporel de l’accord courant. La grande diversité des accords provient d’une part des conditions initiales des relations entre consortiums et éditeurs scientifiques – les sommes dépensées en abonnement étant le point de départ des nouveaux accords –, d’autre part des objectifs de chaque partie. Même si cette étude excluait volontairement les négociations, les accords portent des traces de ces objectifs. Ainsi, de nombreux accords sont de nature explicitement expérimentale, quand certains visent un contrôle budgétaire strict, ou d’autres ambitionnent, dans la période plus récente, la publication du plus grand nombre possible d’articles en accès ouvert. C’est dans ce dernier cas qu’on touche à l’ambiguïté des attentes générales sur les accords transformants. En effet, pour les consortiums, la dimension « transformante » consiste essentiellement à transférer les sommes traditionnellement allouées à l’abonnement vers la publication en accès ouvert. Mais l’objectif n’est jamais de transformer le modèle économique des revues, c'est-à-dire de faire basculer des revues sous abonnement ou hybrides en revues entièrement en accès ouvert. D’ailleurs, aucune clause ne vise une telle fin – à l’exception du modèle d’accord proposé par l’éditeur ACM. Du côté des éditeurs, et notamment de Springer, le caractère cumulatif des accords nationaux passés vise à projeter un monde de la publication où l’accès ouvert devient de fait quantitativement très dominant, sans pour autant modifier de manière pérenne le modèle économique de leurs revues. Notre étude montre que les accords transformants actuels ne permettent pas d’assurer de manière durable une transition de l’économie de la publication vers l’accès ouvert, dans la mesure où ils n’offrent pas de garantie sur le contrôle des dépenses ni sur la pérennité de l’ouverture des contenus. L’avenir des relations entre consortium et éditeur demeure largement indéterminé.Cette étude porte sur une des innovations contemporaines liées à l’économie de la publication scientifique : les accords dits transformants, un objet relativement circonscrit au sein des relations entre consortiums de bibliothèques et éditeurs scientifiques, et temporellement situé entre 2015 et 2020. Ce type d’accords a pour objectif affiché d’organiser la transition du modèle traditionnel de l’abonnement à des revues (souvent proposées par regroupements thématiques ou collections) vers celui de l’accès ouvert en opérant une réaffectation des budgets qui y sont consacrés. Notre travail d’analyse sociologique constitue une première étude systématique de cet objet, fondée sur la recension de 197 accords. Le corpus ainsi constitué inclut des accords caractérisés par la coprésence d’une composante d’abonnement et d’une composante de publication en accès ouvert, même minimale (« jetons » de publication offerts, réduction sur les APC...). En conséquence, ont été exclus de l’analyse les accords portant uniquement sur du financement centralisé de publication en accès ouvert, que ce soit avec des éditeurs ne proposant que des revues avec paiement par l’auteur (PLOS, Frontiers, MDPI...) ou des éditeurs dont une partie du catalogue est constitué de revues en accès ouvert. L’accord le plus ancien de notre corpus a été signé en 2010, les plus récents en 2020 – les accords ne commençant qu’en 2021, même annoncés au cours de l’étude, n’ont pas été retenus. Plusieurs résultats se dégagent de notre analyse. Tout d’abord, on note une grande diversité des acteurs impliqués avec 22 pays et 39 éditeurs, même si certains consortiums (Pays-Bas, Suède, Autriche, Allemagne) et éditeurs (CUP, Elsevier, RSC, Springer) en ont signé beaucoup plus que d’autres. Ensuite, la durée des accords, comprise entre une et six années, révèle une distribution très inégalitaire, avec plus de la moitié des accords (103) signés pour 3 ans, ainsi qu’une faible proportion pour 4 ans ou plus (22 accords). Enfin, en dépit d’appels répétés à la transparence, moins de la moitié des accords (96) ont un texte accessible au moment de cette étude, sans qu’on puisse observer une tendance récente à une plus grande disponibilité. L’analyse montre également des degrés d’ouverture très variables, allant d’une simple information sur le répertoire ESAC en passant par la mise à disposition d’un format annotable jusqu’à l’attribution d’un DOI et d’une licence de réutilisation (CC-BY), en incluant le détail des sommes monétaires. Parmi les 96 accords disponibles, dont 47 signés en 2020, 62 ont fait l’objet d’une analyse en profondeur. C’est à notre connaissance la première analyse à cette échelle, sur un type de matériel non seulement inédit, mais qui était auparavant soumis à des clauses de confidentialité. Fondée sur une lecture minutieuse, l’étude décrit de manière fine leurs propriétés, depuis la matérialité du document jusqu’aux formules financières, en passant par leur morphologie et l’ensemble des droits et devoirs des parties. Les contenus des accords sont donc analysés comme une collection dont nous cherchons à déterminer les points communs et les variations, à travers des codages explicites sur certaines de leurs caractéristiques. L’étude pointe également des incertitudes, et notamment leur caractère « transitionnel », qui demeure fortement discuté. D’un point de vue morphologique, les accords montrent une grande diversité en matière de taille (de 7 à 488 pages) et de structure. Néanmoins, par définition, ils articulent tous deux objets essentiels : d’une part, les conditions de réalisation d’une lecture d’articles de revues, sous forme d’abonnement, mêlant des préoccupations d’accès et de sécurité ; d’autre part, les modalités de publication en accès ouvert, articulant la gestion d’un nouveau type de workflow à toute une série d’options possibles. Parmi ces options, mentionnons notamment le périmètre des revues considérées (hybrides et/ou accès ouvert), les licences disponibles, le degré d’obligation de cette publication, les auteurs éligibles ou le volume d’articles publiables. L’un des résultats les plus importants de cette analyse approfondie est la mise au jour d’un découplage presque complet, au sein même des accords, entre l’objet abonnement et l’objet publication. Bien entendu, l’abonnement est systématiquement configuré dans un monde fermé, soumis à paiement qui déclenche des séries d’identification des circulations légitimes tant du contenu informationnel que des usagers. Il insiste notamment sur les interdictions de réutilisation ou même de copie des articles scientifiques. À l’opposé, la publication en accès ouvert est attachée à un monde régi par l’accès gratuit au contenu, ce qui induit des préoccupations de gestion du workflow et des modalités d’accessibilité. De plus, les différents éléments constitutifs de ces objets contractuels ne sont pas couplés : d’un côté, les lecteurs sont constitués de l’ensemble des membres des institutions abonnées, de l’autre, seuls les auteurs correspondants (« corresponding authors ») sont concernés ; les listes de revues accessibles à la lecture et celles réservées à la publication en accès ouvert sont le plus souvent distinctes ; les workflows ont des objectifs et des organisations matérielles totalement différentes, etc. L’articulation entre les deux objets contractuels relève uniquement d’une formule de distribution financière qui, outre des combinaisons particulières entre l’un et l’autre, permet d’attribuer des étiquettes distinctes aux accords (offset agreement, publish & read, read & publish, read & free articles, read & discount). Au-delà de cette distribution, l’étude des arrangements financiers montre une gamme de dispositions allant d’une prévisibilité budgétaire totale, donc identique aux accords d’abonnement antérieurs, à une incertitude sur le volume de publication ou sur le montant définitif des sommes échangées. Les modalités concrètes de calcul des montants associés à la publication en accès ouvert sont relativement variées. S’il existe effectivement des formules récurrentes (volume d’articles multiplié par un prix individuel, reprise de la moyenne des sommes totales d’APC des années précédentes...), le calcul des sommes en jeu est toujours le résultat d’une négociation singulière entre un consortium et un éditeur scientifique, et aboutit parfois à des formules originales et complexes. À ce titre, l’espace des possibles en matière de formules financières n’est jamais totalement clos. Par ailleurs, la volonté des consortiums d’opérer une « transformation » de leurs accords vers la publication à coût constant renvoie à des définitions diversifiées du « coût » (inclusion ou non des dépenses d’APC préexistantes) et de la constance (admission ou pas d’une « inflation » à 2 ou 3%). De plus, nous n’avons observé aucune disposition contractuelle permettant d’anticiper les sommes en jeu au-delà de l’horizon temporel de l’accord courant. La grande diversité des accords provient d’une part des conditions initiales des relations entre consortiums et éditeurs scientifiques – les sommes dépensées en abonnement étant le point de départ des nouveaux accords –, d’autre part des objectifs de chaque partie. Même si cette étude excluait volontairement les négociations, les accords portent des traces de ces objectifs. Ainsi, de nombreux accords sont de nature explicitement expérimentale, quand certains visent un contrôle budgétaire strict, ou d’autres ambitionnent, dans la période plus récente, la publication du plus grand nombre possible d’articles en accès ouvert. C’est dans ce dernier cas qu’on touche à l’ambiguïté des attentes générales sur les accords transformants. En effet, pour les consortiums, la dimension « transformante » consiste essentiellement à transférer les sommes traditionnellement allouées à l’abonnement vers la publication en accès ouvert. Mais l’objectif n’est jamais de transformer le modèle économique des revues, c'est-à-dire de faire basculer des revues sous abonnement ou hybrides en revues entièrement en accès ouvert. D’ailleurs, aucune clause ne vise une telle fin – à l’exception du modèle d’accord proposé par l’éditeur ACM. Du côté des éditeurs, et notamment de Springer, le caractère cumulatif des accords nationaux passés vise à projeter un monde de la publication où l’accès ouvert devient de fait quantitativement très dominant, sans pour autant modifier de manière pérenne le modèle économique de leurs revues. Notre étude montre que les accords transformants actuels ne permettent pas d’assurer de manière durable une transition de l’économie de la publication vers l’accès ouvert, dans la mesure où ils n’offrent pas de garantie sur le contrôle des dépenses ni sur la pérennité de l’ouverture des contenus. L’avenir des relations entre consortium et éditeur demeure largement indéterminé.