Добірка наукової літератури з теми "Méthode de Newton régularisé"

Résumé L’article porte sur la compréhension qualitative de notions de physique-mécanique. L’objectif est d’examiner la notion de « conception » en tant qu’objet utile à l’étude du développement de l’intelligence scientifique. La méthode de l’entretien d’explicitation a été utilisée auprès de vingt sujets ayant participé à la recherche. Ceux-ci ont été invités à développer leur compréhension logico-mathématique des deux premières lois de Newton par l’exploration d’un micromonde informatisé programmé sur le logiciel Interactive PhysicsMD. Les résultats montrent certaines faiblesses du paradigme du changement conceptuel pour décrire le processus d’apprentissage en science.

In this work, we propose some regularization techniques to adapt the implicit high order algorithm based on the coupling of the asymptotic numerical methods (ANM) (Cochelin et al., Méthode Asymptotique Numérique, Hermès-Lavoisier, Paris, 2007; Mottaqui et al., Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 199 (2010) 1701–1709; Mottaqui et al., Math. Model. Nat. Phenom. 5 (2010) 16–22) and the implicit Newmark scheme for solving the non-linear problem of dynamic model of a two-stage spur gear system with backlash. The regularization technique is used to overcome the numerical difficulties of singularities existing in the considered problem as in the contact problems (Abichou et al., Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 191 (2002) 5795–5810; Aggoune et al., J. Comput. Appl. Math. 168 (2004) 1–9). This algorithm combines a time discretization technique, a homotopy method, Taylor series expansions technique and a continuation method. The performance and effectiveness of this algorithm will be illustrated on two examples of one-stage and two-stage gears with spur teeth. The obtained results are compared with those obtained by the Newton–Raphson method coupled with the implicit Newmark scheme.

RésuméCet article est consacré à la place qu’occupent Bacon et Newton au sein de la pensée nietzschéenne. Il s’agit de comprendre comment Nietzsche construit son questionnement en relation avec l’épistémologie anglaise et éventuellement contre celle-ci. Le statut de Bacon est largement problématique en ce qu’il relève à la fois de la science, de la philosophie et de l’art. Aussi, le rapprochement avec la démarche baconienne permet-il de préciser ce que la philosophie doit à l’art et à la science, tout en notifiant que la philosophie telle que l’entend Nietzsche est encore à venir. La confrontation avec Newton quant à elle, montre que Nietzsche situe sa propre réflexion à un niveau élevé. Mais ce niveau doit encore être dépassé puisque son problème, la culture, ne saurait être épuisé par une méthode uniquement scientifique.

Le but de cette thèse est d'étudier la méthode de Newton pour résoudre numériquement les inclusions variationnelles, appelées aussi dans la littérature les équations généralisées. Ces problèmes engendrent en général des opérateurs multivoques. La première partie est dédiée à l'extension des approches de Kantorovich et la théorie (alpha, gamma) de Smale (connues pour les équations non-linéaires classiques) au cas des inclusions variationnelles dans les espaces de Banach. Ceci a été rendu possible grâce aux développements récents des outils de l'analyse variationnelle et non-lisse tels que la régularité métrique. La seconde partie est consacrée à l'étude de méthodes numériques de type-Newton pour les inclusions variationnelles en utilisant la différentiabilité généralisée d'applications multivoques où nous proposons de linéariser à la fois les parties univoques (lisses) et multivoques (non-lisses). Nous avons montré que, sous des hypothèses sur les données du problème ainsi que le choix du point de départ, la suite générée par la méthode de Newton converge au moins linéairement vers une solution du problème de départ. La convergence superlinéaire peut-être obtenue en imposant plus de conditions sur l'approximation multivaluée. La dernière partie de cette thèse est consacrée à l'étude des équations généralisées dans les variétés Riemaniennes à valeurs dans des espaces euclidiens. Grâce à la relation entre la structure géométrique des variétés et les applications de rétractions, nous montrons que le schéma de Newton converge localement superlinéairement vers une solution du problème. La convergence quadratique (locale et semi-locale) peut-être obtenue avec des hypothèses de régularités sur les données du problème
This thesis is devoted to present some results in the scope of Newton-type methods applied for inclusion involving set-valued mappings. In the first part, we follow the Kantorovich's and/or Smale's approaches to study the convergence of Josephy-Newton method for generalized equation (GE) in Banach spaces. Such results can be viewed as an extension of the classical Kantorovich's theorem as well as Smale's (alpha, gamma)-theory which were stated for nonlinear equations. The second part develops an algorithm using set-valued differentiation in order to solve GE. We proved that, under some suitable conditions imposed on the input data and the choice of the starting point, the algorithm produces a sequence converging at least linearly to a solution of considering GE. Moreover, by imposing some stronger assumptions related to the approximation of set-valued part, the proposed method converges locally superlinearly. The last part deals with inclusions involving maps defined on Riemannian manifolds whose values belong to an Euclidean space. Using the relationship between the geometric structure of manifolds and the retraction maps, we show that, our scheme converges locally superlinearly to a solution of the initial problem. With some more regularity assumptions on the data involved in the problem, the quadratic convergence (local and semi-local) can be ensured

Cette thèse est consacrée à la recherche des zéros d'un opérateur maximal monotone structuré, à l'aide de systèmes dynamiques dissipatifs continus et discrets. Les solutions sont obtenues comme limites des trajectoires lorsque le temps t tend vers l'infini. On s'intéressera principalement aux dynamiques obtenues par régularisation de type Levenberg-Marquardt de la méthode de Newton. On décrira aussi les approches basées sur des dynamiques voisines.Dans un cadre Hilbertien, on s'intéresse à la recherche des zéros de l'opérateur maximal monotone structuré M = A + B, où A est un opérateur maximal monotone général et B est un opérateur monotone Lipschitzien. Nous introduisons des dynamiques continues et discrètes de type Newton régularisé faisant intervenir d'une façon séparée les résolvantes de l'opérateur A (implicites), et des évaluations de B (explicites). A l'aide de la représentation de Minty de l'opérateur A comme une variété Lipschitzienne, nous reformulons ces dynamiques sous une forme relevant du théorème de Cauchy-Lipschitz. Nous nous intéressons au cas particulier où A est le sous différentiel d'une fonction convexe, semi-continue inférieurement, et propre, et B est le gradient d'une fonction convexe, différentiable. Nous étudions le comportement asymptotique des trajectoires. Lorsque le terme de régularisation ne tend pas trop vite vers zéro, et en s'appuyant sur une analyse asymptotique de type Lyapunov, nous montrons la convergence des trajectoires. Par ailleurs, nous montrons la dépendance Lipschitzienne des trajectoires par rapport au terme de régularisation.Puis nous élargissons notre étude en considérant différentes classes de systèmes dynamiques visant à résoudre les inclusions monotones gouvernées par un opérateur maximal monotone structuré M = $partialPhi$+ B, où $partialPhi$ désigne le sous différentiel d'une fonction convexe, semicontinue inférieurement, et propre, et B est un opérateur monotone cocoercif. En s'appuyant sur une analyse asymptotique de type Lyapunov, nous étudions le comportement asymptotique des trajectoires de ces systèmes. La discrétisation temporelle de ces dynamiques fournit desalgorithmes forward-backward (certains nouveaux ).Finalement, nous nous intéressons à l'étude du comportement asymptotique des trajectoires de systèmes dynamiques de type Newton régularisé, dans lesquels on introduit un terme supplémentaire de viscosité évanescente de type Tikhonov. On obtient ainsi la sélection asymptotique d'une solution de norme minimale
This thesis is devoted to finding zeroes of structured maximal monotone operators, by using discrete and continuous dissipative dynamical systems. The solutions are obtained as the limits of trajectories when the time t tends towards infinity.We pay special attention to the dynamics that are obtained by Levenberg-Marquardt regularization of Newton's method. We also revisit the approaches based on some related dynamical systems.In a Hilbert framework, we are interested in finding zeroes of a structured maximal monotone operator M = A + B, where A is a general maximal monotone operator, and B is monotone and locally Lipschitz continuous. We introduce discrete and continuous dynamical systems which are linked to Newton's method. They involve separately B and the resolvents of A, and are designed to splitting methods. Based on the Minty representation of A as a Lipschitz manifold, we show that these dynamics can be formulated as differential systems, which are relevant to the Cauchy-Lipschitz theorem. We focus on the particular case where A is the subdifferential of a convex lower semicontinuous proper function, and B is the gradient of a convex, continuously differentiable function. We study the asymptotic behavior of trajectories. When the regularization parameter does not tend to zero too rapidly, and by using Lyapunov asymptotic analysis, we show the convergence of trajectories. Besides, we show the Lipschitz continuous dependence of the solution with respect to the regularization term.Then we extend our study by considering various classes of dynamical systems which aim at solving inclusions governed by structured monotone operators M = $partialPhi$+ B, where $partialPhi$ is the subdifferential of a convex lower semicontinuous function, and B is a monotone cocoercive operator. By a Lyapunov analysis, we show the convergence properties of the orbits of these systems. The time discretization of these dynamics gives various forward-backward splittingmethods (some new).Finally, we focus on the study of the asymptotic behavior of trajectories of the regularized Newton dynamics, in which we introduce an additional vanishing Tikhonov-like viscosity term.We thus obtain the asymptotic selection of the solution of minimal norm

Nous considérons des inégalités variationnelles écrites sous forme d'équations aux dérivées partielles avec contraintes de complémentarité non linéaires. La discrétisation de tels problèmes conduit à des systèmes discrets non linéaires et non différentiables qui peuvent être résolus en employant une méthode de linéarisation itérative de type semi-lisse. Notre objectif est de concevoir une approche de régularisation qui approxime le problème par un système d'équations non linéaires différentiables. Une application directe des méthodes classiques de type Newton est ainsi possible. Nous construisons des estimations d'erreur a posteriori qui sont à la base d'un algorithme de Newton régularisé, inexact et adaptatif, pour une solution des problèmes considérés. Dans le chapitre 1, dans un cadre discret, nous nous intéressons aux systèmes algébriques non linéaires avec des contraintes de complémentarité provenant de discrétisations numériques d'EDP avec problèmes de complémentarité. Nous produisons une approximation différentiable d'une fonction non différentiable, en reformulant les conditions de complémentarité. Le système non linéaire qui en résulte est résolu par la méthode de Newton, ainsi qu'un solveur algébrique linéaire itératif. Nous établissons une borne supérieure sur le résidu du système considéré et concevons des estimateurs d'erreur a posteriori identifiant les composantes d'erreur de régularisation, de linéarisation et algébrique. Ces ingrédients sont utilisés pour formuler des critères d'arrêt efficaces pour les solveurs non linéaires et algébriques. Avec la même méthodologie, une méthode adaptative de points intérieurs est proposée. Nous appliquons notre algorithme au système algébrique d'inégalités variationnelles décrivant le contact entre deux membranes et à un problème d'écoulement diphasique. Nous fournissons une comparaison numérique de notre approche avec une méthode de Newton semi-lisse, éventuellement combinée avec une stratégie de path-following, et une méthode non-paramétrique de points intérieurs. Dans le chapitre 2, en dimension infinie, nous considérons le problème de contact entre deux membranes. Nous utilisons une discrétisation par la méthode des volumes finis et appliquons l'approche de régularisation proposée dans le chapitre 1 pour lisser la non-différentiabilité dans les contraintes de complémentarité. La résolution du système régularisé non linéaire qui en résulte est réalisée grâce à la méthode de Newton, en combinaison avec un solveur algébrique itératif. Nous concevons des reconstructions de potentiel H1-conformes et des reconstructions de flux équilibrés discrets H(div)-conformes. Nous prouvons une borne supérieure pour l'erreur totale par la norme d'énergie et concevons des estimateurs reflétant les erreurs provenant de la discrétisation en volumes finis, du lissage de la non-différentiabilité, de la linéarisation par la méthode de Newton et du solveur algébrique, respectivement. Cela nous permet d'établir des critères d'arrêt adaptatifs pour arrêter les différents solveurs dans l'algorithme proposé et de concevoir un algorithme adaptatif pilotant ces quatre composantes. Dans le chapitre 3, nous introduisons une application à un modèle industriel d’écoulement multiphasique compositionnel avec transitions de phase en milieu poreux. Une discrétisation par la méthode des volumes finis produit un système algébrique non linéaire et non différentiable que nous résolvons en utilisant notre technique de Newton régularisé et inexacte. En suivant le processus du chapitre 1, nous construisons des estimateurs a posteriori en majorant la norme du résidu du système discret, ce qui résulte des critères adaptatifs que nous incorporons dans l'algorithme employé. Des expériences numériques confirment l'efficacité de nos estimations. En particulier, nous montrons que les algorithmes adaptatifs développés réduisent significativement le nombre global d'itérations par rapport aux méthodes existantes
We consider variational inequalities written in the form of partial differential equations with nonlinear complementarity constraints. The discretization of such problems leads to nonlinear non-differentiable discrete systems that can be solved employing an iterative linearization method of semismooth type like, e.g., the Newton-min algorithm. Our goal in this thesis is to conceive a simple smoothing approach that involves approximating the problem as a system of nonlinear smooth (differentiable) equations. In this setting, a direct application of classical Newton-type methods is possible. We construct a posteriori error estimates that lie at the foundation of an adaptive inexact smoothing Newton algorithm for a solution of the considered problems. We first present the strategy in a discrete framework. Then, we develop the method for the model problem of contact between two membranes. Last, an application to a compositional multiphase flow industrial model is introduced. In Chapter 1, we are concerned about nonlinear algebraic systems with complementarity constraints arising from numerical discretizations of PDEs with nonlinear complementarity problems. We produce a smooth approximation of a nonsmooth function, reformulating the complementarity conditions. The ensuing nonlinear system is solved employing the Newton method, together with an iterative linear algebraic solver to approximately solve the linear system. We establish an upper bound on the considered system’s residual and design a posteriori error estimators identifying the smoothing, linearization, and algebraic error components. These ingredients are used to formulate efficient stopping criteria for the nonlinear and algebraic solvers. With the same methodology, an adaptive interior-point method is proposed. We apply our algorithm to the algebraic system of variational inequalities describing the contact between two membranes and a two-phase flow problem. We provide numerical comparison of our approach with a semismooth Newton method, possibly combined with a path-following strategy, and a nonparametric interior-point method. In Chapter 2, in an infinite-dimensional framework, we consider as a model problem the contact problem between two membranes. We employ a finite volume discretization and apply the smoothing approach proposed in Chapter 1 to smooth the non-differentiability in the complementarity constraints. The resolution of the arising nonlinear smooth system is again realized thanks to the Newton method, in combination with an iterative algebraic solver for the solution of the resulting linear system. We design H1-conforming potential reconstructions as well as H(div)-conforming discrete equilibrated flux reconstructions. We prove an upper bound for the total error in the energy norm and conceive discretization, smoothing, linearization, and algebraic estimators reflecting the errors stemming from the finite volume discretization, the smoothing of the non-differentiability, the linearization by the Newton method, and the algebraic solver, respectively. This enables us to establish adaptive stopping criteria to stop the different solvers in the proposed algorithm and design adaptive algorithm steering all these four components. In Chapter 3, we consider a compositional multiphase flow (oil, gas, and water) with phase transitions in a porous media. A finite volume discretization yields a nonlinear non-differentiable algebraic system which we solve employing our inexact smoothing Newton technique. Following the process of Chapter 1, we build a posteriori estimators by bounding the norm of the discrete system’s residual, resulting in adaptive criteria that we incorporate in the employed algorithm. Throughout this thesis, numerical experiments confirm the efficiency of our estimates. In particular, we show that the developed adaptive algorithms considerably reduce the overall number of iterations in comparison with the existing methods

Dans la présente thèse, on s’intéresse à la résolution de problèmes algébriques et d’évolution en dimension finie et infinie. Dans le premier chapitre, on a étudié l’existence globale et la régularité maximale d’un système gradient abstrait avec des applications à des problèmes de diffusion non-linéaires et à une équation de la chaleur avec des coefficients non-locaux. La méthode utilisée est la méthode d’approximation de Galerkin. Dans le deuxième chapitre, on a étudié l’existence locale, l’unicité et la régularité maximale des solutions de l’équation de raccourcissement des courbes en utilisant le théorème d’inversion locale. Finalement, dans le dernier chapitre, on a résolu une équation algébrique entre deux espaces de Banach en utilisant la méthode de Newton continue avec une application à une équation différentielle avec des conditions aux limites périodiques
In this work, we solve algebraic and evolution equations in finite and infinite-dimensional sapces. In the first chapter, we use the Galerkin method to study existence and maximal regularity of solutions of a gradient abstract system with applications to non-linear diffusion equations and to non-degenerate quasilinear parabolic equations with nonlocal coefficients. In the second chapter, we Study local existence, uniqueness and maximal regularity of solutions of the curve shortening flow equation by using the local inverse theorem. Finally, in the third chapter, we solve an algebraic equation between two Banach spaces by using the continuous Newton’s method and we apply this result to solve a non-linear ordinary differential equation with periodic boundary conditions

Dans ce travail, le problème de l'appariement d'images dense ou "pixel par pixel" est formulé en termes de minimisation de fonctionnelles issues de différents modèles élastiques imposés a priori. Les méthodes numériques utilisées ici pour résoudre le problème de minimisation sont les itérations de Gauss-Seidel avec la numérotation rouge-noir et un algorithme de minimisation de Newton inexacte. Ce dernier nécessite une méthode itérative pour résoudre de façon approchée les systèmes d'équations linéaires à chaque pas d'algorithme. Une méthode originale de type multi-grille a été développée à ces fins. L'originalité de la méthode consiste dans l'utilisation d'opérateurs de prolongation spécieux dits sous-optimaux. Les théorèmes de convergence sont prouvés pour la méthode de Newton inexacte aussi bien pour le problème de minimisation que pour le problème de résolution de système d'équations non linéaires. Une particularité des problèmes considérés est un très grand nombre d'inconnues (plus de 50. 000). Ce qui rend l'utilisation d'approches multi-résolution et multi-échelle presque inévitable. La méthode de minimisation de Newton inexacte étudiée ici a le caractère général et peut être appliquée pour la résolution d'autres types de problème, par exemple pour la restauration d'images. Un exemple allant dans ce sens est donné parmi d'autres applications pratiques de l'algorithme.

Dans ce travail nous nous intéressons à la modélisation d'un délaminage existant dans un matériau composite à fibres longues et à matrice organique. Plus précisèment, il porte sur la modélisation de la contribution des ponts de fibres à l'énergie dissipée lors d'essais de délaminage en mode I, mode II et mode mixte. L'idée directrice est qu'il existe pour tous ces modes de rupture un T. R. E. Caractéristique de l'initiation et que l'apparition d'un pont de fibres pendant la propagation entraîne une augmentation suivie d'une stabilisation de l'énergie dissipée. Ce pont de fibres est modélisé par une densité de ressorts endommageable le long d'une partie de la fissure. Cette modélisation nous permet de simuler numériquement différents tests standards de délaminage, comme le D. C. B. , le E. L. S. Et le M. M. F. S. , à l'aide de la méthode de Newton-Raphson, tout en tenant compte de la création puis du transport du pont de fibres. Cette approche nous permet de conserver des critères de rupture simples et efficaces. Les résultats obtenus sont en accord avec les différentes observations expérimentales de la littérature
In this work, we model the delamination in the long fiber composite material. More precisely, we study a modelling of the fiber bridging contribution in the dissipative energy during delamination test in mode I, mode II, mixed mode. For this, we introduce a density of damageable spring along the crack, to simulate the fiber bridging. This approach permit us to keep simple propagation criteria. Then, we perform a numerical simulation of different tests, as the D. C. B. , the E. L. S. And the M. M. F. S. With the Newton-Raphson method. The result, we obtain, agree with the experimental observation

Les travaux présentés dans ce mémoire s'inscrivent dans l'étude et l'amélioration des modèles d'endommagement continus régularisés (non locaux), l'objectif étant d'étudier la transition entre un champ d'endommagement continu défini sur l'ensemble d'une structure et un modèle discontinu de fissuration macroscopique.La première étape consiste en l'étude semi-analytique d'un problème unidimensionnel (barre en traction) visant à identifier une famille de lois d'interface permettant de basculer d'une solution non homogène obtenue avec un modèle continu à gradient d'endommagement vers un modèle discontinu de fissuration cohésive. Ce passage continu / discontinu est construit de telle sorte que l'équivalence énergétique entre les deux modèles soit assurée, et reste exacte quelque soit le niveau de dégradation atteint par le matériau au moment où cette transition est déclenchée.Cette stratégie est ensuite étendue au cadre 2D (et 3D) éléments finis dans le cas de la propagation de fissures rectilignes (et planes) en mode I. Une approche explicite basée sur un critère de dépassement d'une valeur " critique " de l'endommagement est proposée afin de coupler les modèles continus et discontinus au sein d'un même calcul quasi-statique par éléments finis. Enfin, plusieurs résultats de simulations menées avec cette approche couplée sont présentés.

In this thesis we develop two main subjects: First, the notion of a pseudospectrum of a complex square matrix, and then the application of Newton-Kantorovich method and its Fixed Slope inexact variant to compute Schur and Gauss upper triangular similar forms of a given complex square matrix. The chapter on pseudospectra compiles and provides a synthesis of the principal results on this theme and contains some original contributions too. We also propose the use of Newton Kantorovich method and its Fixed Slope inexact variant to rene the QR and (L+I)U matrix factorizations needed to compute the triangular forms
Dans cette thèse on développe deux sujets : d'une part, la notion de pseudo-spectre d'une matrice complexe carrée et, d'autre part, l'application de la méthode de Newton-Kantorovich au calcul des formes triangulaires supérieures semblables d'une matrice carrée complexe. Le travail sur le pseudo-spectre est une compilation de résultats qui réalise une synthèse de cette notion. Quelques contributions originales complètent ce texte. La recherche sur les formes triangulaires repose sur l'application de la méthode de Newton-Kantorovich et sa variante de la Pente xe au calcul d'une forme de Schur par similarité unitaire et d'une forme de Gauss par similarité triangulaire infèrieure a diagonal unite. On propose que les factorisations QR et (L+I)U nécessaires au calcul des formes triangulaires de Schur et de Gauss par les algorithmes de Francis et de Crout respectivement, soient accomplies par ranement itératif en utilisant encore une fois la méthode de Newton-Kantorovich et sa variante de la Pente x

La resolution implicite d'ecoulements de fluides autour de structures complexes pose des problemes d'encombrement memoire lorsque le nombre de nuds du domaine discretise est grand. En effet, la resolution des problemes non lineaires a l'aide de l'algorithme de newton demande a chaque etape la resolution d'un systeme lineaire associe au jacobien dont le stockage sature les memoires actuelles des supercalculateurs. Une autre approche consiste a utiliser un solveur de type gmres et a estimer chaque produit matrice jacobien-vecteur par un schema aux differences finies. Dans un premier temps, nous avons etudie l'effet de l'approximation d'un produit jacobien-vecteur par un schema aux differences finies sur la convergence locale et globale de newton. Ensuite, nous nous sommes interesses a definir des methodes d'acceleration de la methode de newton ayant pour noyaux les informations des resolutions anterieures. Dans une premiere approche, nous avons construit un probleme de minimisation sur un sous-espace de taille reduite. Puis nous avons propose une seconde approche, ou l'idee est de reutiliser le sous-espace de krylov pour construire un preconditionnement pour la resolution des systemes lineaires des pas de temps suivants. Tout d'abord, nous avons applique cette technique aux problemes non stationnaires raides au sens des edo, puis etendu son usage aux problemes stationnaires

Les méthodes plus avancées d'optimisation avec ou sans contraintes nécessitent le calcul des dérivées de la fonction. En ce sens, la différentiation automatique est devenue un outil primordial. Malgré le fait qu'il soit omniprésent, cet outil est encore en développement et en recherche. Il ne présente pas les inconvénients classiques des méthodes habituelles de dérivation mais reste complexe à utiliser. Ce travail consiste à utiliser un outil de différentiation permettant de calculer des dérivées d'ordres supérieurs afin d'obtenir des directions améliorées. Nous définirons d'abord de manière générale un type d'algorithme d'optimisation à l'aide des directions suffisamment descendantes. Leurs caractéristiques seront analysées pour modifier des méthodes de type Newton afin d'avoir une meilleure fiabilité de convergence. Nous étudierons les opérations critiques et l'ordre du coût de ces méthodes. Dans une deuxième partie, nous verrons les calculs d'algèbre linéaire requis pour nos algorithmes. Ensuite, nous présenterons le fonctionnement de la différentiation automatique et en quoi c'en est un outil indispensable à ce genre de méthode. Puis, nous expliquerons pourquoi nous avons choisi l'outil Tapenade pour la différentiation automatique et la librairie de Moré, Garbow, Hillstrom pour la collection de fonctions tests. Enfin, nous comparerons les méthodes de type Newton.